Ako používať simuláciu Monte Carlo s GBM

Jedným z najbežnejších spôsobov odhadu rizika je použitie simulácie Monte Carlo (MCS). Napríklad na výpočet hodnoty rizika (VaR) portfólia môžeme spustiť simuláciu Monte Carlo, ktorá sa pokúsi predpovedať najhoršiu pravdepodobnú stratu portfólia pri intervale spoľahlivosti v stanovenom časovom horizonte (vždy musíme uviesť dve podmienky pre VaR: dôvera a horizont).

V tomto článku preskúmame základný MCS použitý na cenu akcií pomocou jedného z najbežnejších finančných modelov: geometrický Brownov pohyb (GBM). Preto, zatiaľ čo simulácia Monte Carlo môže odkazovať na vesmír rôznych prístupov k simulácii, začneme tu najzákladnejšou.

Kde začať

Simulácia Monte Carlo je pokus predpovedať mnohokrát viac. Na konci simulácie tisíce alebo milióny „náhodných pokusov“ vytvoria rozdelenie výsledkov, ktoré je možné analyzovať. Základné kroky sú nasledujúce:

1. Zadajte model (napr. GBM)

Pre tento článok použijeme Geometric Brownian Motion (GBM), čo je technicky Markovov proces. To znamená, že cena akcií prebieha náhodne a je v súlade (prinajmenšom) so slabou formou efektívnej hypotézy trhu (EMH) - minulé informácie o cenách sú už zahrnuté a ďalší pohyb cien je „podmienečne nezávislý“ od cenové pohyby v minulosti.

Vzorec pre GBM sa nachádza nižšie:

Kde:

• S = cena akcie
• Δ S = Zmena ceny akcií
• μ = Očakávaný výnos
• σ = smerodajná odchýlka výnosov
• ϵ = Náhodná premenná
• Δt = Uplynuté časové obdobie

Ak preusporiadame vzorec tak, aby sa riešil iba kvôli zmene ceny akcií, vidíme, že GBM hovorí, že zmena ceny akcií je cena akcií "S" vynásobená dvoma výrazmi nachádzajúcimi sa v zátvorkách nižšie:

Prvý termín je „drift“ a druhý termín je „šok“. Pre každé časové obdobie náš model predpokladá, že cena sa „zvýši“ o očakávaný výnos. Drift však bude šokovaný (pridaný alebo odčítaný) náhodným šokom. Náhodným šokom bude štandardná odchýlka „s“ vynásobená náhodným číslom „e“. Toto je jednoducho spôsob škálovania štandardnej odchýlky.

Toto je podstata GBM, ako je znázornené na obrázku 1. Cena akcie sleduje rad krokov, pričom každý krok predstavuje posun plus mínus náhodný šok (samotný je funkciou štandardnej odchýlky akcie):

postava 1

2. Vygenerujte náhodné skúšky

Vyzbrojení špecifikáciou modelu potom pokračujeme v náhodných pokusoch. Na ilustráciu sme použili program Microsoft Excel na spustenie 40 pokusov. Majte na pamäti, že ide o nereálne malú vzorku; väčšina simulácií alebo „simov“ vykonáva najmenej niekoľko tisíc pokusov.

V tomto prípade predpokladajme, že zásoby začínajú v deň nula cenou 10 dolárov. Tu je tabuľka výsledku, kde každý časový krok (alebo interval) je jeden deň a séria beží desať dní (v súhrne: štyridsať pokusov s dennými krokmi nad desať dní):

Obrázok 2: Geometrický Brownov pohyb

Výsledkom je štyridsať simulovaných cien akcií na konci 10 dní. Žiadna z nich neklesla pod 9 dolárov a jeden nad 11 dolárov.

3. Spracujte výstup

Simulácia priniesla rozdelenie hypotetických budúcich výsledkov. S výstupom by sme mohli urobiť niekoľko vecí.

Ak chceme napríklad odhadnúť VaR s 95% istotou, potom musíme lokalizovať iba tridsiaty ôsmy výsledok (tretí najhorší výsledok). Je to preto, že 2/40 sa rovná 5%, takže dva najhoršie výsledky sú v najnižších 5%.

Ak stohujeme ilustrované výsledky do zásobníkov (každý zásobník predstavuje jednu tretinu z 1 dolára, takže tri zásobníky pokrývajú interval od 9 do 10 dolárov), dostaneme nasledujúci histogram:

Obrázok 3

Pamätajte, že náš model GBM predpokladá normálnosť; cenové výnosy sú zvyčajne distribuované s očakávaným výnosom (stredným) „m“ a štandardnou odchýlkou ​​„s“. Je zaujímavé, že náš histogram nevyzerá normálne. V skutočnosti nebude mať viac pokusov tendenciu smerovať k normálnosti. Namiesto toho bude smerovať k lognormálnemu rozdeleniu: prudký pokles vľavo od priemeru a vysoko sklonený „dlhý chvost“ vpravo od priemeru.

Pre začínajúcich študentov to často vedie k potenciálne mätúcej dynamike:

• Výnosy z ceny sa bežne distribuujú.
• Cenové úrovne sa bežne distribuujú logom.

Premýšľajte o tom takto: Zásoba sa môže vrátiť nahor alebo nadol 5% alebo 10%, ale po určitom čase nemôže byť cena akcií záporná. Ďalej, zvyšovanie cien smerom hore má zložitý efekt, zatiaľ čo poklesy ceny smerom nadol znižujú základňu: prehrajte 10% a pri ďalšom nabití vám zostane menej.

Tu je tabuľka lognormálneho rozdelenia prekrývajúca naše ilustrované predpoklady (napr. Počiatočná cena 10 dolárov):

Obrázok 4

Spodný riadok

Simulácia Monte Carlo aplikuje vybraný model (ktorý špecifikuje správanie nástroja) na veľkú skupinu náhodných pokusov, aby sa pokúsil vytvoriť hodnoverný súbor možných budúcich výsledkov. Pokiaľ ide o simuláciu cien akcií, najbežnejším modelom je geometrický Brownov pohyb (GBM). GBM predpokladá, že neustály posun je sprevádzaný náhodnými otrasmi. Zatiaľ čo výnosy za obdobie podľa GBM sa bežne distribuujú, následné cenové hladiny na viac období (napríklad desať dní) sa obvykle distribuujú.