Výpočet súčasnej a budúcej hodnoty dôchodkov

V určitom okamihu svojho života ste možno museli vykonať sériu pevných platieb za určité časové obdobie - napríklad platby za nájomné alebo platby za autá - alebo ste za určité obdobie dostali sériu platieb, napríklad úroky z dlhopisov alebo CDs. Nazývajú sa anuity (všeobecnejšie použitie slova - nemýliť sa s konkrétnym finančným produktom nazývaným anuita, hoci tieto dve veci súvisia). Ak rozumiete časovej hodnote peňazí, ste pripravení sa dozvedieť viac o anuitách a ako sa vypočítavajú ich súčasné a budúce hodnoty.

Čo sú anuity?

Anuity sú v podstate séria pevných platieb, ktoré sa od vás požadujú alebo sa od vás vyplácajú, v stanovenej frekvencii v priebehu stanoveného časového obdobia. Frekvencie platieb môžu byť ročne, polročne (dvakrát ročne), štvrťročne a mesačne. Existujú dva základné typy rent: bežné dôchodky a splatné renty.

• Bežná renta: Platby sa vyžadujú na konci každého obdobia. Napríklad priame obligácie obvykle uskutočňujú platby kupónom na konci každých šesť mesiacov až do dátumu splatnosti dlhopisu.
• Splatná anuita: Platby sa požadujú na začiatku každého obdobia. Nájomné je príklad splatnej anuity. Zvyčajne sa vyžaduje, aby ste platili nájomné, keď sa prvýkrát nastúpite na začiatok mesiaca a potom prvý deň každého nasledujúceho mesiaca.

Keďže výpočty súčasnej a budúcej hodnoty bežných anuít a splatných anuít sa mierne líšia, budeme o nich diskutovať osobitne.

Bežné anuity

Výpočet budúcej hodnoty

Ak viete, koľko môžete investovať za obdobie počas určitého časového obdobia, budúca budúca hodnota (FV) všeobecného vzorca pre anuitu je užitočná na zistenie toho, koľko by ste mali v budúcnosti. Ak uskutočňujete platby za pôžičku, pri určovaní celkových nákladov na pôžičku je užitočná budúca hodnota. Ak viete, koľko plánujete investovať každý rok a pevnú mieru návratnosti svojich anuitných záruk - alebo, v prípade pôžičiek, sumu vašich platieb a danú úrokovú sadzbu - môžete kedykoľvek ľahko určiť hodnotu svojho účtu. budúcnosť.

Prejdime teraz príkladom 1. Zvážte nasledujúci harmonogram peňažných tokov anuity:

Aby sme mohli vypočítať budúcu hodnotu anuity, musíme vypočítať budúcu hodnotu každého peňažného toku. Predpokladajme, že počas nasledujúcich piatich rokov dostávate každý rok 1 000 dolárov a každú platbu investujete s 5% úrokom. Nasledujúci diagram ukazuje, koľko by ste mali na konci päťročného obdobia:

Keďže musíme pripočítať budúcu hodnotu každej platby, možno ste si všimli, že ak máte bežnú anuitu s mnohými peňažnými tokmi, výpočet všetkých budúcich hodnôt by trvalo dlhý čas a potom by sa sčítali. Matematika našťastie poskytuje vzorec, ktorý slúži ako skratka na zistenie akumulovanej hodnoty všetkých peňažných tokov získaných z bežnej anuity:

FVOrdinárna Anuita = C × [(1 + i) n −1i] kde: C = Peňažný tok za perióda = Úroková sadzba = Počet platieb \ začiatok {zarovnané} & \ text {FV} _ {\ text {Bežné ~ Anuita }} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {(1 + i) ^ n-1} {i} \ Big] \\ & \ textbf {kde:} \\ & \ text {C} = \ text {Peňažný tok za obdobie} \\ & i = \ text {Úroková sadzba} \\ & n = \ text {Počet platieb} \\ \ end {zarovnaný} FVOrdinárska anuita = C × [i (1 + i) n − 1] kde: C = Peňažný tok za obdobie = úroková sadzba = počet platieb

Použitím vyššie uvedeného vzorca pre príklad 1 vyššie je to výsledok:

FVOrdinárska anuita = 1 000 $ × [(1 + 0, 05) 5–10, 05] = 1 000 × × [5, 53] \ začiatok {zarovnaný} \ text {FV} _ {\ text {bežný ~ anuita}} & = \ 1 000 $ \ krát \ doľava [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ right] \\ & = \ $ 1000 \ times [5.53] \\ & = \ $ 5525, 63 \ end {zarovnaný} FVOrdinary Annuity = 1000 $ × [ 0, 05 (1 + 0, 05) 5-1] = $ 1000 x [5, 53]

Výpočet súčasnej hodnoty

Všimnite si, že rozdiel o jedno cent medzi 5 525, 64 a 5 525, 63 dolárov je spôsobený chybou zaokrúhľovania v prvom výpočte. Každá hodnota prvého výpočtu musí byť zaokrúhlená na najbližšiu cent - čím viac musíte zaokrúhliť čísla pri výpočte, tým pravdepodobnejšia bude chyba zaokrúhľovania. Vyššie uvedený vzorec teda nie je len skratkou na zistenie FV bežnej anuity, ale tiež poskytuje presnejší výsledok.

Súčasná hodnota anuity je jednoducho súčasná hodnota všetkých príjmov generovaných touto investíciou v budúcnosti. Tento výpočet vychádza z konceptu časovej hodnoty peňazí, ktorý uvádza, že dolár má teraz väčšiu hodnotu ako dolár zarobený v budúcnosti. Z tohto dôvodu sa pri výpočtoch súčasnej hodnoty používa počet časových období, počas ktorých sa generuje príjem, na diskontovanie hodnoty budúcich platieb.

Ak chcete zistiť dnešnú hodnotu budúcej série platieb, musíte použiť vzorec, ktorý počíta súčasnú hodnotu (PV) bežnej anuity. Toto je vzorec, ktorý by ste použili ako súčasť výpočtu ceny dlhopisov. PV bežnej anuity vypočíta súčasnú hodnotu platieb kupónu, ktoré dostanete v budúcnosti.

V príklade 2 použijeme rovnaký rozvrh anuitných tokov, aký sme použili v príklade 1. Na získanie celkovej diskontovanej hodnoty musíme vziať súčasnú hodnotu každej budúcej platby a rovnako ako v príklade 1 pridať peňažné toky spolu.

Výpočet a pripočítanie všetkých týchto hodnôt bude opäť vyžadovať značné množstvo času, najmä ak očakávame veľa budúcich platieb. Hoci množstvo online kalkulačiek môže určiť súčasnú hodnotu anuity, vzorec pre bežnú anuitu nie je príliš zložitý na výpočet ručne, ak použijeme matematickú skratku pre PV bežnej anuity.

PVOrdinárska anuita = C × [1− (1 + i) −ni] \ text {PV} _ {\ text {Obyčajná ~ anuita}} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i} \ Big] PVOrdinárska anuita = C × [i1− (1 + i) −n]

Vzorec nám poskytuje PV v niekoľkých jednoduchých krokoch. Tu je výpočet renty vyjadrenej v diagrame pre príklad 2:

PVOrdinárska anuita = 1 000 × × [1− (1 + 0, 05) −50, 05] = 1 000 × × [4, 33] \ začiatok {zarovnaný} \ text {PV} _ {\ text {obyčajný ~ anuita}} & = \ 1 000 $ \ krát \ Veľký [\ dfrac {1- (1 + 0, 05) ^ {- 5}} {0, 05} \ Veľký] \\ & = \ 1000 $ \ krát [4, 33] \\ & = \ $ 4329, 48 \ end {zarovnaný} PVOrdinárna anuita = $ je 1000 × [0.051- (1 + 0, 05) -5] = $ 1000 x [4, 33]

Výpočet budúcej hodnoty

Keď dostávate alebo platíte peňažné toky za splatnú anuitu, váš rozvrh peňažných tokov sa objaví takto:

Keďže každá platba v sérii sa uskutoční o jedno obdobie skôr, je potrebné vzorec o jedno obdobie vrátiť. Mierna úprava vzorca FV bežnej anuity predstavuje platby, ktoré sa vyskytujú na začiatku každého obdobia. V príklade 3 si ukážeme, prečo je táto zmena potrebná, keď sa každá platba 1 000 $ uskutoční na začiatku obdobia a nie na konci (úroková sadzba je stále 5%):

Všimnite si, že keď sa platby uskutočňujú na začiatku obdobia, každá suma sa na konci obdobia drží dlhšie. Napríklad, ak by sa 1 000 dolárov investovalo 1. januára namiesto 31. decembra každý rok, posledná platba predtým, ako si vážime našu investíciu na konci piatich rokov (31. decembra), by sa uskutočnila skôr ako rok (1. januára), a nie v ten istý deň, keď sa oceňuje. Budúca hodnota anuitného vzorca by potom bola:

FVAnnuity Due = C × [(1 + i) n −1i] × (1 + i) FV _ {\ text {Anuita}} = C \ times \ left [\ frac {(1 + i) ^ n-1 } {i} \ right] \ times (1 + i) FVAnnuity Due = C × [i (1 + i) n − 1] × (1 + i)

Z tohto dôvodu

FVAnnuity Due = 1 000 $ × [(1 + 0, 05) 5–10, 05] × (1 + 0, 05) = 1 000 × 5, 53 × 1, 05 \ začiatok {zarovnaný} FV _ {\ text {splatnosť anuity}} & = \ 1 000 $ \ krát \ doľava \ [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ right] \ times (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ times5, 53 \ times1.05 \\ & = \ $ 5801, 91 \ end { zarovnané} splatnosť FVA = 1000 $ × [0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] × (1 + 0, 05) = 1 000 × 5, 53 × 1, 05

Splatnosť anuity

Výpočet súčasnej hodnoty

Pre súčasnú hodnotu vzorca na výpočet anuity je potrebné diskontovať vzorec o jedno obdobie dopredu, pretože platby sú držané kratšiu dobu. Pri výpočte súčasnej hodnoty predpokladáme, že prvá platba bola vykonaná dnes.

Tento vzorec by sme mohli použiť na výpočet súčasnej hodnoty vašich budúcich platieb nájomného, ​​ako sa uvádza v prenájme, ktorú podpíšete s prenajímateľom. Povedzme, že prvú splátku nájomného (pozri príklad 4 nižšie) uskutočňujete na začiatku mesiaca a vyhodnocujete súčasnú hodnotu vášho päťmesačného nájmu v ten istý deň. Váš výpočet súčasnej hodnoty by fungoval takto:

Samozrejme môžeme použiť skratku vzorca na výpočet súčasnej hodnoty splatnej anuity:

PVAnnuity Due = C × [1− (1 + i) −ni] × (1 + i) PV _ {\ text {Anuita}} = C \ times \ left [\ frac {1- (1 + i) ^ {-n}} {i} \ right] \ times (1 + i) PVAnnuity Due = C × [i1− (1 + i) −n] × (1 + i)

Z tohto dôvodu

PVAnnuita splatná = 1 000 × × [(1 - (1 + 0, 05) −50, 05] × (1 + 0, 05) = 1 000 × 4, 33 × 1, 05 \ začiatok {zarovnané} PV _ {\ text {splatnosť anuity}} & = \ 1 000 $ \ -krát \ left [\ frac {(1- (1 + 0.05) ^ {- 5}} {0.05} \ right] \ times (1 + 0.05) \\ & = \ $ 1000 \ times4.33 \ times1.05 \\ & = \ 4545, 95 \ end {zarovnaný} splatnosť PVA = splatnosť = 1 000 × × [0, 05 (1 - (1 + 0, 05) −5] × (1 + 0, 05) = 1 000 × 4, 33 × 1, 05

Pripomeňme, že súčasná hodnota bežnej renty vrátila hodnotu 4 329, 48 dolárov. Súčasná hodnota bežnej anuity je nižšia ako splatná anuita, pretože čím ďalej späť diskontujeme budúcu platbu, tým nižšia je jej súčasná hodnota - každá platba alebo peňažný tok v bežnej anuite sa vyskytuje o jedno obdobie ďalej do budúcnosti.

Časová hodnota peňazí

Výpočet budúcej hodnoty je založený na koncepte časovej hodnoty peňazí. To jednoducho znamená, že dolár, ktorý si dnes zarobíte, má zajtra vyššiu hodnotu ako dolár, pretože prostriedky, ktoré teraz ovládate, sa môžu investovať a časom môžete získať úroky. Budúca hodnota anuity je preto vyššia ako súčet všetkých vašich investícií, pretože tieto príspevky časom získavali úroky. Napríklad budúca hodnota 1 000 dolárov investovaná dnes s 10% úrokom je odteraz 1100 dolárov za rok. Jeden dolár dnes stojí 1, 10 dolárov za rok kvôli časovej hodnote peňazí.

Predpokladajme, že do svojej bežnej anuity budete platiť 15 000 dolárov ročne. Zaručuje 9% úrok ročne.

FV = 5 000 $ × {(((1 + 0, 09) 15) -1 0, 09} = 5 000 × × {((1, 0915) -1) 0, 09} = 5 000 × 2 642 ÷ 0, 09 \ začiatok {zarovnaný} FV & = \ 5 000 \ krát \ {(((1 + 0, 09) ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \} \\ & = \ 5 000 $ \ krát \ {((1, 09 ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \ } \\ & = \ 5 000 $ \ krát 2, 642 \ div 0, 09 \\ & = \ 5 000 \ krát \ 146, 804, 58 \ end {zarovnaný} FV = 5 000 $ × {((((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = $ 5.000 x {((1, 0915) -1) ÷ 0, 09} = $ 5.000 x 2, 642 ÷ 0, 09

Bez možnosti zvyšovania úrokov má vaša séria príspevkov 5 000 dolárov na konci 15 rokov hodnotu iba 75 000 dolárov. Namiesto toho, so zloženým úrokom, je budúca hodnota vašej anuity takmer dvojnásobná oproti 146 804, 58 USD.

Na výpočet budúcej hodnoty splatnej anuity jednoducho vynásobte bežnú budúcu hodnotu 1+ i (úroková sadzba). Vo vyššie uvedenom príklade je budúca hodnota anuity splatnej s rovnakými parametrami jednoducho 146 804, 58 x (1 + 0, 09) alebo 160 016, 99 dolárov.

Úvahy o súčasnej hodnote

Pri výpočte súčasnej hodnoty anuity je dôležité, aby boli všetky premenné konzistentné. Ak napríklad renta generuje ročné platby, musí sa úroková sadzba vyjadriť aj ako ročná sadzba. Ak napríklad renta generuje mesačné platby, musí sa úroková sadzba vyjadriť aj ako mesačná sadzba.

Predpokladajme, že anuita má úrokovú sadzbu 10%, ktorá v nasledujúcich 15 rokoch generuje ročné platby 3 000 dolárov. Súčasná hodnota tejto anuity je:

= $ 3000 x (((1- (1 + 0, 1) -15)) ÷ 0, 1) = $ 3000 x ((1 - 0, 239392) ÷ 0, 1) = $ 3000 x (0, 760608 ÷ 0, 1) = $ 3000 x 7, 60608 \ begin {kompenzované } & = \ $ 3 000 \ krát (((1 - (1 + 0, 1) ^ {- 15})) \ div 0, 1) \\ & = \ $ 3 000 \ krát ((1 - 0, 239392) \ div 0, 1) \\ & = \ 3 000 \ krát (0, 760608 \ div 0, 1) \\ & = \ 3 000 \ krát 760608 \\ & = \ 22 818 $ \ end {zarovnané} = 3 000 × × (((1 - (1 + 0, 1) −15)) ÷ 0, 1) = $ 3.000 x ((1 - 0, 239392) ÷ 0, 1) = $ 3.000 x (0, 760608 ÷ 0, 1) = $ 3.000 x 7, 60608

Súčasná hodnota anuity

Spodný riadok

Teraz môžete vidieť, ako anuity ovplyvňujú spôsob výpočtu súčasnej a budúcej hodnoty akejkoľvek sumy peňazí. Nezabudnite, že frekvencia platieb alebo počet platieb a čas, v ktorom sa tieto platby uskutočňujú (či už na začiatku alebo na konci každého platobného obdobia), sú všetky premenné, ktoré musíte pri výpočtoch zohľadniť.

Pri plánovaní odchodu do dôchodku je dôležité mať dobrú predstavu o tom, koľko príjmu sa môžete spoľahnúť každý rok. Aj keď môže byť relatívne ľahké sledovať, koľko vložíte do dôchodkových plánov sponzorovaných zamestnávateľom, individuálnych dôchodkových účtov (IRA) a anuity, nie vždy je ľahké vedieť, koľko dostanete. Našťastie, pokiaľ ide o anuity s pevnou úrokovou sadzbou alebo plány investované do cenných papierov s pevnou úrokovou sadzbou, existuje jednoduchý spôsob, ako vypočítať, koľko peňazí môžete očakávať, že budete mať k dispozícii po odchode do dôchodku, na základe toho, koľko ste vložili na účet počas vašich pracovných rokov.,