Pochopenie Binomial Option Pricing Model

Zhodnúť sa na presnom stanovovaní cien obchodovateľných aktív je náročné - preto sa ceny akcií neustále menia. V skutočnosti spoločnosti len ťažko menia svoje ocenenia každý deň, ale ich ceny akcií a ocenenia sa menia takmer každú sekundu. Tento problém pri dosahovaní konsenzu o správnom stanovovaní cien obchodovateľných aktív vedie k krátkodobým arbitrážnym príležitostiam.

Ale veľa úspešných investícií sa scvrkáva na jednoduchú otázku súčasného ocenenia - aká je súčasná súčasná cena pre očakávanú budúcu návratnosť?

Hodnotenie binominálnych opcií

Aby sa predišlo arbitrážnym príležitostiam, na konkurenčnom trhu musia mať aktíva s rovnakou štruktúrou výplaty rovnakú cenu. Oceňovanie možností bolo náročnou úlohou a cenové rozdiely vedú k arbitrážnym príležitostiam. Black-Scholes zostáva jedným z najpopulárnejších modelov používaných na cenové možnosti, má však obmedzenia.

Binomický model oceňovania opcií je ďalšou populárnou metódou používanou pre oceňovanie opcií.

Príklady

Predpokladajme, že na konkrétnom akte existuje opcia na volanie s aktuálnou trhovou cenou 100 dolárov. Bankové opcie (ATM) majú realizačnú cenu 100 USD s časom uplynutia jedného roka. Existujú dvaja obchodníci, Peter a Paula, ktorí súhlasia s tým, že cena akcií v jednom roku stúpne na 110 dolárov alebo na 90 dolárov.

Dohodli sa na očakávaných úrovniach cien v danom časovom rámci jedného roka, ale nesúhlasia s pravdepodobnosťou posunu nahor alebo nadol. Peter verí, že pravdepodobnosť, že cena akcie klesne na 110 dolárov, je 60%, zatiaľ čo Paula verí, že je to 40%.

Na základe toho, kto by bol ochotný zaplatiť vyššiu cenu za kúpnu opciu? Možno Peter, pretože očakáva vysokú pravdepodobnosť vzostupného ťahu.

Výpočty binominálnych možností

Dva aktíva, od ktorých závisí ocenenie, sú call opcia a podkladové akcie. Účastníci sa zhodujú v tom, že podkladová cena akcií sa môže pohybovať zo súčasných 100 dolárov na 110 dolárov alebo 90 dolárov za jeden rok a nie sú možné žiadne ďalšie cenové pohyby.

Vo svete bez arbitráže, ak musíte vytvoriť portfólio pozostávajúce z týchto dvoch aktív, opcie na kúpu a podkladové akcie, takže bez ohľadu na to, kam podkladová cena ide - 110 alebo 90 dolárov - čistá návratnosť portfólia zostáva vždy rovnaká, Predpokladajme, že kupujete akcie d) podkladovej a krátkej jednodňovej opcie na vytvorenie tohto portfólia.

Ak cena klesne na 110 USD, vaše akcie budú mať hodnotu 110 USD * d a stratou 10 USD pri výplate za krátke hovory. Čistá hodnota vášho portfólia bude (110 d - 10).

Ak cena klesne na 90 dolárov, vaše akcie budú mať hodnotu 90 USD * d a platnosť tejto možnosti skončí bezcenne. Čistá hodnota vášho portfólia bude (90 d).

Ak chcete, aby hodnota vášho portfólia zostala rovnaká bez ohľadu na to, kam sa podkladová cena akcií pohybuje, hodnota vášho portfólia by v každom prípade mala zostať rovnaká:

h (d) −m = l (d) kde: h = Najvyššia potenciálna podkladová cena = Počet podkladových akciím = Peniaze stratené pri výplate za krátke volaniel = Najnižšia potenciálna podkladová cena \ začiatok {zarovnané} & h (d) - m = l (d) \\ & \ textbf {where:} \\ & h = \ text {Najvyššia potenciálna podkladová cena} \\ & d = \ text {Počet podkladových akcií} \\ & m = \ text {Peniaze stratené pri výplate krátkeho hovoru} \\ & l = \ text {Najnižšia potenciálna podkladová cena} \\ \ end {zarovnaná} h (d) −m = l (d) kde: h = Najvyššia potenciálna podkladová cena = Počet podkladových akciím = Peniaze stratené pri krátkej výzve payoffl = Najnižšia potenciálna podkladová cena

Ak teda zakúpite polovicu akcie, za predpokladu, že sú možné čiastkové nákupy, podarí sa vám vytvoriť portfólio tak, aby jeho hodnota zostala rovnaká v oboch možných štátoch v danom časovom rámci jedného roka.

110 d − 10 = 90 dd = 12 \ začiatok {zarovnané} a 110 d - 10 = 90 d \\ & d = \ frac {1} {2} \\ \ end {zarovnané} 110 d − 10 = 90 dd = 21

Táto hodnota portfólia označená ako (90d) alebo (110d - 10) = 45 je o jeden rok nižšia. Pri výpočte jeho súčasnej hodnoty môže byť diskontovaná bezrizikovou mierou návratnosti (za predpokladu, že 5%).

Súčasná hodnota = 90d × e (−5% × 1 rok) = 45 × 0, 9523 = 42, 85 \ začiatok {zarovnaný} \ text {súčasná hodnota} & = 90 d \ krát e ^ {(-5 \% \ krát 1 \ text {Rok})} \\ & = 45 \ krát 0, 9523 \\ & = 42, 85 \\ \ end {zarovnaný} Súčasná hodnota = 90 d × e (−5% × 1 rok) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Keďže v súčasnosti portfólio pozostáva z ½ akcie podkladových akcií (s trhovou cenou 100 dolárov) a jednej krátkej výzvy, malo by sa rovnať súčasnej hodnote.

12 × 100-1 × × Cena hovoru = 42, 85 $Všetková cena = 7, 14 $, tj cena dnešného hovoru \ begin {zarovnané} & \ frac {1} {2} \ krát 100 - 1 \ krát \ text {Cena hovoru = = \ $ 42, 85 \\ & \ text {Cena hovoru} = \ 7, 11 $ \ text {, tj dnešná cena hovoru} \\ \ end {zarovnané} 21 × 100-1 × × Cena hovoru = 42, 85 $Volaná cena = 7, 14 $, tj cena hovoru dnes

Pretože je to založené na predpoklade, že hodnota portfólia zostáva rovnaká bez ohľadu na to, akým smerom sa podkladová cena pohybuje, nehrá pravdepodobnosť pohybu nahor alebo nadol žiadnu rolu. Portfólio zostáva bez rizika bez ohľadu na základné pohyby cien.

V obidvoch prípadoch (predpokladá sa zvýšenie na 110 dolárov a zníženie na 90 dolárov) je vaše portfólio voči riziku neutrálne a dosahuje bezrizikovú mieru návratnosti.

Preto by obchodníci, Peter aj Paula, boli ochotní zaplatiť za túto výzvu na zaplatenie rovnakých 7, 14 USD, a to napriek rozdielnemu vnímaniu pravdepodobnosti zvýšenia (60% a 40%). Na ich individuálne vnímaných pravdepodobnostiach nezáleží pri oceňovaní opcií.

Namiesto toho, aby záležalo na individuálnych pravdepodobnostiach, sa mohli predstaviť arbitrážne príležitosti. V skutočnom svete takéto arbitrážne príležitosti existujú s malými cenovými rozdielmi a v krátkodobom horizonte zmiznú.

Kde je však vo všetkých týchto výpočtoch kolísavá volatilita, dôležitý a citlivý faktor, ktorý ovplyvňuje tvorbu cien opcií?

Volatilita je už zahrnutá v povahe definície problému. Za predpokladu, že dva (a iba dva - odtiaľ názov „binomické“) cenové hladiny (110 a 90 dolárov), je volatilita implicitná v tomto predpoklade a zahrnutá automaticky (v tomto príklade 10%).

Black-Scholes

Je však tento prístup správny a súvisí s bežne používanou cenou spoločnosti Black-Scholes? Výsledky kalkulačky opcií (so súhlasom OIC) sa úzko zhodujú s vypočítanou hodnotou:

Skutočný svet nanešťastie nie je taký jednoduchý ako „iba dva štáty“. Zásoby môžu dosiahnuť niekoľko cenových hladín pred uplynutím doby platnosti.

Je možné zahrnúť všetky tieto rôzne úrovne do binomického cenového modelu, ktorý je obmedzený iba na dve úrovne ">

Jednoduchá matematika

Zovšeobecniť tento problém a riešenie:

„X“ je súčasná trhová cena akcie a „X * u“ a „X * d“ sú budúce ceny pre pohyby smerom nahor a nadol o „roky“ neskôr. Faktor „u“ bude väčší ako jeden, pretože indikuje pohyb nahor a „d“ leží medzi nulou a jedným. V uvedenom príklade u = 1, 1 ad = 0, 9.

Výplaty opcie na volanie sú „P _hore “ a „P _dn “ pre pohyby nahor a nadol v čase vypršania platnosti.

Ak vytvárate portfólio akcií „s“ zakúpených dnes a skrátite jednorazovú kúpnu opciu, po čase „t“:

VUM = s × X × u − Pupwhere: VUM = Hodnota portfólia v prípade posunu nahor \ začiatok {zarovnaný} & \ text {VUM} = s \ krát X \ krát u - P_ \ text {hore} \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {VUM} = \ text {Hodnota portfólia v prípade posunu nahor} \\ \ end {zarovnaný} VUM = s × X × u − Pup kde: VUM = Hodnota portfólia v prípade posunu nahor

VDM = s × X × d − Pdownwhere: VDM = Hodnota portfólia v prípade posunu nadol \ begin {zarovnané} & \ text {VDM} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {VDM} = \ text {Hodnota portfólia v prípade posunu nadol} \\ \ end {zarovnaný} VDM = s × X × d − Pdown kde: VDM = Hodnota portfólia v prípade presunu nadol

Na podobné ocenenie v každom prípade pohybu cien:

s × X × u − Pup = s × X × d − Pdowns \ times X \ times u - P_ \ text {up} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} s × X × u− šteňa = s x X x d-Pdown

s = Pup − PdownX × (u − d) = Počet akcií na nákup = = bezrizikové portfólio \ begin {zarovnané} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {X \ times (u - d)} \\ & = \ text {Počet akcií na nákup} \\ & \ phantom {=} \ text {portfólio bez rizika} \\ \ end {zarovnané} s = X × (u − d) Pup −Pdown = Počet akcií na nákup = = bezrizikové portfólio

Budúca hodnota portfólia na konci „t“ rokov bude:

V prípade posunu nahor = s × X × u − Pup = Pup − Pdownu − d × u − Pup \ begin {zarovnanie} \ text {V prípade posunu nahor} & = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} \\ \ end {zarovnaný} V prípade Posun hore = s × X × u − Pup = u − dPup −Pdown × u − Pup

V prípade posunu nadol = s × X × d − Pdown = Pup − Pdownu − d × d − Pdownovanie \ begin {zarovnané} \ text {V prípade posunu nadol} & = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times d - P_ \ text {down} \\ \ end {zarovnaný} V prípade Posun dole = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

Dnešnú hodnotu je možné získať diskontovaním bezrizikovou mierou návratnosti:

PV = e (−rt) × [Pup − Pdownu − d × u − Pup] kde: PV = súčasnosť Valuer = miera návratnosti = čas v rokoch \ začiatok {zarovnané} & \ text {PV} = e (-rt) \ times \ left [\ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} \ right] \\ & \ textbf { kde:} \\ & \ text {PV} = \ text {Súčasná hodnota} \\ & r = \ text {Miera návratnosti} \\ & t = \ text {Čas v rokoch} \\ \ end {zarovnaný} PV = e (−rt) × [u − dPup −Pdown × u − Pup], kde: PV = súčasný Valuer = miera návratnosti = čas v rokoch

Toto by sa malo zhodovať s portfóliovým držaním akcií „s“ za cenu X a hodnota krátkej výzvy „c“ (súčasná držba (s * X - c) by sa mala rovnať tomuto výpočtu.) Riešenie pre „c“ ho nakoniec poskytne as:

Poznámka: Ak je prémia za volanie skrátená, malo by to byť doplnenie portfólia, nie odčítanie.

c = e (−rt) u − d × [(e (rt) −d) × Pup + (u − e (−rt)) × pokles) c = \ frac {e (-rt)} {u - d} \ times [(e (-rt) - d) \ times P_ \ text {up} + (u - e (-rt)) \ times P_ \ text {down}] c = u − de (−rt) x [(e (-RT) až d) x mláďat + (u-e (-RT)) x Pdown]

Ďalším spôsobom, ako napísať rovnicu, je jej zmena usporiadania:

Ak vezmeme „q“ ako:

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

Potom sa rovnica stáva:

c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × pokles) c = e (-rt) \ times (q \ times P_ \ text {up} + (1 - q) \ times P_ \ text {down}) c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown)

Zmena usporiadania rovnice na „q“ priniesla novú perspektívu.

Teraz môžete interpretovať „q“ ako pravdepodobnosť posunu podkladu smerom nahor (pretože „q“ je spojená s P _up a „1-q“ je spojená s P _dn ). Celkovo rovnica predstavuje súčasnú cenu opcie, diskontovanú hodnotu jej výplaty po uplynutí jej platnosti.

Toto „Q“ je iné

Čím je táto pravdepodobnosť „q“ odlišná od pravdepodobnosti posunu nahor alebo nadol podkladu “>

VSP = q × X × u + (1 − q) × X × dde: VSP = hodnota ceny akcie v čase t \ začiatok {zarovnané} & \ text {VSP} = q \ krát X \ krát u + (1 - q) \ krát X \ krát d \\ & \ textbf {kde:} \\ & \ text {VSP} = \ text {Hodnota ceny akcií v čase} t \\ \ end {zarovnané} VSP = q × X × u + (1 − q) × X × niekde: VSP = hodnota ceny akcií v čase t

Nahradením hodnoty „q“ a preskupením sa cena akcií v čase „t“ dostane na:

Cena na sklade = e (rt) × X \ začiatok {zarovnané} & \ text {Cena na sklade} = e (rt) \ krát X \\ \ end {zarovnané} Cena na sklade = e (rt) × X

V tomto predpokladanom svete dvoch štátov cena akcií jednoducho stúpa bezrizikovou mierou návratnosti, presne ako bezrizikové aktívum, a preto zostáva nezávislá od akéhokoľvek rizika. Podľa tohto modelu nie sú investori ľahostajní k riziku, preto predstavuje rizikovo neutrálny model.

Pravdepodobnosť „q“ a „(1-q)“ je známa ako pravdepodobnosť neutrálna z hľadiska rizika a metóda oceňovania je známa ako model ocenenia neutrálny z hľadiska rizika.

Príklad scenára má jednu dôležitú požiadavku - budúca štruktúra výplaty sa vyžaduje s presnosťou (úroveň 110 dolárov a 90 dolárov). V praxi nie je taká jasnosť o postupných úrovniach cien možná; skôr sa cena pohybuje náhodne a môže sa vyrovnať na viacerých úrovniach.

Ak chcete príklad ďalej rozšíriť, predpokladajte, že sú možné dvojstupňové cenové úrovne. Poznáme posledný krok v poslednom kroku a túto možnosť musíme oceniť dnes (v počiatočnom kroku):

Pri spätnom pohľade sa stredné ocenenie v prvom kroku (pri t = 1) môže vykonať pomocou konečných výnosov v druhom kroku (t = 2), potom s použitím týchto vypočítaných ocenení v prvom kroku (t = 1), súčasné ocenenie (t = 1). 0) je možné dosiahnuť pomocou týchto výpočtov.

Na získanie ceny opcií na čísle dva sa používajú výplaty na štyri a päť. Na získanie cien za číslo tri sa používajú výplaty v päť a šesť. Nakoniec sa vypočítané výplaty na dve a tri používajú na získanie cien na prvom mieste.

Upozorňujeme, že tento príklad predpokladá rovnaký faktor pohybov nahor a nadol v oboch krokoch - u a d sa používajú zloženým spôsobom.

Pracovný príklad

Predpokladajme, že predajná opcia s realizačnou cenou 110 dolárov sa v súčasnosti obchoduje na úrovni 100 USD a jej platnosť vyprší o jeden rok. Ročná bezriziková miera je 5%. Očakáva sa, že cena sa každých šesť mesiacov zvýši o 20% a zníži o 15%.

Tu = u = 1, 2 a d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

použitím vyššie uvedeného odvodeného vzorca

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

dostaneme q = 0, 35802832

hodnota opcie s právom predaja v bode 2,

p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) kde: p = cena opcie na predaj \ begin {zarovnané} & p_2 = e (-rt) \ times (p \ times P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \\ & \ textbf {kde:} \\ & p = \ text {Cena opcie na predaj} \\ \ end {zarovnané} p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) kde: p = Cena opcie s právom predaja

V podmienkach _zvýšenia P bude podkladová hodnota = 100 * 1, 2 * 1, 2 = 144 dolárov, čo vedie k _zvýšeniu P = nula

V podmienkach _{aktualizácie} P bude podklad = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 dolárov, čo vedie k _{aktualizácii} P = 8 dolárov

Za podmienok P _dndn bude podklad = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 $, čo vedie k P _dndn = 37, 75 $

p2 = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Podobne p3 = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924.

p1 = e (--rt) × (q × p2 + (1 - q) p3) p_1 = e (-rt) \ krát (q \ krát p_2 + (1 - q) p_3) p1 = e (−rt) x (q x p2 + (1-q) p3)

A teda hodnota opcie s právom predaja, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = 18, 29 USD.

Podobne vám binomické modely umožňujú prerušiť celé trvanie možnosti na ďalšie spresnenie viacerých krokov a úrovní. Pomocou počítačových programov alebo tabuliek môžete naraz postupovať o krok späť a získať tak aktuálnu hodnotu požadovanej možnosti.

Ďalší príklad

Predpokladajme, že predajná opcia európskeho typu má deväť mesiacov do uplynutia platnosti, realizačnú cenu 12 USD a aktuálnu podkladovú cenu 10 USD. Pre všetky obdobia predpokladajte bezrizikovú sadzbu 5%. Predpokladajme, že každé tri mesiace sa môže podkladová cena pohybovať o 20% nahor alebo nadol, čo nám dáva u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 a trojkrokový strom stromov.

Červená označuje základné ceny, zatiaľ čo modrá označuje návratnosť opcií s právom predaja.

Rizikovo neutrálna pravdepodobnosť „q“ sa počíta na 0, 531446.

Použitím vyššie uvedenej hodnoty "q" a hodnôt návratnosti pri t = deväť mesiacov sa zodpovedajúce hodnoty v čase t = šesť mesiacov vypočítajú ako:

Ďalej, použitím týchto vypočítaných hodnôt pri t = 6, hodnoty pri t = 3, potom pri t = 0, sú:

To dáva súčasnú hodnotu opcie s právom predaja 2, 18 USD, čo je dosť blízko tomu, čo by ste pre výpočet urobili pomocou modelu Black-Scholes (2, 30 $).

Spodný riadok

Aj keď používanie počítačových programov môže tieto intenzívne výpočty uľahčiť, predikcia budúcich cien zostáva hlavným obmedzením binomických modelov pre oceňovanie opcií. Čím jemnejšie sú časové intervaly, tým ťažšie je predpovedať prínosy na konci každého obdobia s vysokou presnosťou.

Flexibilita na zahrnutie očakávaných zmien v rôznych obdobiach je plus, čo ju robí vhodnou na oceňovanie amerických opcií vrátane ocenení na začiatku praxe.

Hodnoty vypočítané pomocou binomického modelu sa úzko zhodujú s hodnotami vypočítanými z iných bežne používaných modelov, ako napríklad Black-Scholes, čo indikuje užitočnosť a presnosť binomických modelov na oceňovanie opcií. Binomické cenové modely sa môžu vyvíjať podľa preferencií obchodníka a môžu fungovať ako alternatíva k Black-Scholes.