Optimalizujte svoje portfólio pomocou normálnej distribúcie

Normálne rozdelenie je rozdelenie pravdepodobnosti, ktoré vynesie všetky jeho hodnoty symetricky a väčšina výsledkov sa nachádza okolo priemeru pravdepodobnosti.

Normálna distribúcia (Bell Curve)

Súbory údajov (ako je výška 100 ľudí, známky získané 45 žiakmi v triede atď.) Majú tendenciu mať veľa hodnôt v rovnakom dátovom bode alebo v rovnakom rozsahu. Toto rozdelenie údajových bodov sa nazýva normálne alebo zvonové rozloženie krivky.

Napríklad v skupine 100 jedincov môže byť 10 pod 5 stôp, 65 môže stáť medzi 5 a 5, 5 stôp a 25 môže byť nad 5, 5 stôp. Toto rozdelenie viazané na rozsah je možné znázorniť takto:

Podobne údajové body vynesené v grafoch pre ktorýkoľvek daný súbor údajov sa môžu podobať rôznym typom distribúcií. Tri z najbežnejších sú rozdelenia vľavo, vpravo a neusporiadané:

Všimnite si červenú trendovú čiaru v každom z týchto grafov. To zhruba naznačuje trend distribúcie údajov. Prvá „LEFT Aligned Distribution“ (ĽAVÁ vyrovnaná distribúcia) označuje, že väčšina údajových bodov spadá do dolného rozsahu. V druhom grafe „RIGHT Aligned Distribution“ väčšina dátových bodov klesá na hornú hranicu rozsahu, zatiaľ čo posledná „Jumbled Distribution“ predstavuje zmiešaný súbor údajov bez jasného trendu.

Existuje veľa prípadov, v ktorých je distribúcia údajových bodov zvyčajne okolo centrálnej hodnoty a tento graf ukazuje perfektné normálne rozdelenie - rovnomerne vyvážené na oboch stranách, s najvyšším počtom dátových bodov sústredených v strede.

Tu je perfektný, bežne distribuovaný súbor údajov:

Centrálna hodnota je 50 (ktorá má najviac dátových bodov) a distribúcia sa rovnomerne zužuje smerom k extrémnym koncovým hodnotám 0 a 100 (ktoré majú najmenší počet dátových bodov). Normálne rozdelenie je symetrické okolo centrálnej hodnoty s polovicou hodnôt na každej strane.

Rozmiestnenie kriviek kriviek zodpovedá mnohým príkladom v reálnom živote:

• Hodte férovú mincu mnohokrát (povedzte stokrát alebo viackrát) a získate vyváženú normálnu distribúciu hláv a chvostov.
• Mnohé hody hodte kockami (povedzme stokrát alebo viackrát) a výsledkom bude vyvážené normálne rozdelenie sústredené okolo čísla 7 a rovnomerné zužovanie smerom k krajným hodnotám 2 a 12.
• Výška jednotlivcov v skupine značnej veľkosti a známky, ktoré získali ľudia v triede, sledujú obvyklé vzorce distribúcie.
• Vo financiách zmeny hodnôt denníka forexových kurzov, indexov cien a cien akcií sa predpokladá, že budú bežne distribuované.

Riziko a výnosy

Každá investícia má dva aspekty: riziko a výnos. Investori hľadajú najnižšie možné riziko pre najvyššiu možnú návratnosť. Normálna distribúcia kvantifikuje tieto dva aspekty podľa priemeru výnosov a štandardnej odchýlky rizika. (Viac informácií nájdete v časti „Analýza priemerných odchýlok“.)

Priemerná alebo očakávaná hodnota

Konkrétna priemerná zmena ceny akcie by mohla byť 1, 5% za deň - to znamená, že v priemere stúpne o 1, 5%. K tejto priemernej hodnote alebo očakávanej hodnote naznačujúcej návratnosť sa dá dospieť pomocou výpočtu priemeru na dostatočne veľkom dátovom súbore, ktorý obsahuje historické zmeny denných cien danej zásoby. Čím vyšší je priemer, tým lepšie.

Štandardná odchýlka

Štandardná odchýlka označuje množstvo, o ktoré sa hodnoty v priemere odchyľujú od priemeru. Čím vyššia je štandardná odchýlka, tým je investícia rizikovejšia, pretože vedie k väčšej neistote.

Tu je grafické znázornenie toho istého:

Grafické znázornenie normálneho rozdelenia prostredníctvom jeho strednej a štandardnej odchýlky teda umožňuje znázornenie výnosov a rizík v jasne definovanom rozsahu.

Pomáha vedieť (a byť s istotou zaručené), že ak niektorá množina údajov sleduje normálny distribučný model, jej priemer nám umožní vedieť, čo sa dá očakávať, a jej štandardná odchýlka nám umožní vedieť, že okolo 68% hodnôt bude v rámci 1 smerodajnej odchýlky, 95% v rámci 2 smerodajných odchýlok a 99% hodnôt bude spadať do 3 smerodajných odchýlok. Súbor údajov, ktorý má strednú hodnotu 1, 5 a štandardnú odchýlku 1, je oveľa rizikovejší ako iný súbor údajov so strednou hodnotou 1, 5 a štandardnou odchýlkou ​​0, 1.

Znalosť týchto hodnôt pre každé vybrané aktívum (tj akcie, dlhopisy a fondy) umožní investorovi uvedomiť si očakávané výnosy a riziká.

Aplikovanie tohto konceptu je jednoduché a predstavuje riziko a výnos z jednej akcie, dlhopisu alebo fondu. Dá sa to však rozšíriť na portfólio viacerých aktív ">

Jednotlivci začínajú obchodovať nákupom jednej akcie alebo dlhopisu alebo investovaním do podielového fondu. Postupne zvyšujú svoj podiel a kupujú viac akcií, fondov alebo iných aktív, čím vytvárajú portfólio. V tomto inkrementálnom scenári si jednotlivci budujú svoje portfóliá bez stratégie alebo príliš premyslených. Profesionálni manažéri fondov, obchodníci a tvorcovia trhu sledujú systematickú metódu budovania svojho portfólia pomocou matematického prístupu nazývaného moderná teória portfólia (MPT), ktorý je založený na koncepte „normálnej distribúcie“.

Teória moderného portfólia

Moderná teória portfólia (MPT) ponúka systematický matematický prístup, ktorého cieľom je maximalizovať očakávaný výnos portfólia pre dané množstvo portfóliového rizika výberom podielov rôznych aktív. Alternatívne ponúka aj minimalizáciu rizika pre danú úroveň očakávaného výnosu.

Na dosiahnutie tohto cieľa by sa aktíva, ktoré sa majú zahrnúť do portfólia, nemali vyberať výlučne na základe ich vlastných zásluh, ale namiesto toho, ako bude každé aktívum dosahovať výkonnosť v porovnaní s ostatnými aktívami v portfóliu.

Stručne povedané, MPT definuje, ako čo najlepšie dosiahnuť diverzifikáciu portfólia pre čo najlepšie výsledky: maximálne výnosy za prijateľnú úroveň rizika alebo minimálne riziko pre požadovanú úroveň výnosov.

Stavebné bloky

MPT bol taký revolučný koncept, keď sa predstavilo, že jeho vynálezcovia získali Nobelovu cenu. Táto teória úspešne poskytla matematický vzorec na usmernenie diverzifikácie v investovaní.

Diverzifikácia je technika riadenia rizika, ktorá odstraňuje riziko „všetkých vajec v jednom koši“ investovaním do nekorelovaných zásob, sektorov alebo tried aktív. V ideálnom prípade pozitívna výkonnosť jedného aktíva v portfóliu zruší negatívnu výkonnosť ostatných aktív.

Aby sa vzala priemerná návratnosť portfólia, ktoré má n rôznych aktív, vypočíta sa pomerovo vážená kombinácia výnosov z jednotlivých zložiek.

V dôsledku povahy štatistických výpočtov a normálneho rozdelenia sa celková návratnosť portfólia (R _p ) vypočíta ako:

Rp = ΣwiRiR_p = \ sum {w_iR_i} rp = Σwi Ri

Suma (∑), kde w _i je pomerná váha aktíva i v portfóliu, R _i je návratnosť (stredná hodnota) aktíva i.

Riziko portfólia (alebo štandardná odchýlka) je funkciou korelácií zahrnutých aktív pre všetky páry aktív (vo vzťahu k sebe navzájom v páre).

Vzhľadom na povahu štatistických výpočtov a normálneho rozdelenia sa celkové portfóliové riziko (Std-dev) _p vypočíta ako:

(Std − dev) p = sqrt [∑i∑jwiwj (std − dev) i (std − dev) j (cor − cofij)] \ begin {align} & \ left (Std-dev \ right) _p = \ \ & sqrt \ left [\ sum_i \ sum_j {w_i} {w_j} \ left (std-dev \ right) _i \ left (std-dev \ right) _j \ left (cor-cof_ {ij} \ right) \ right] \\ \ end {zarovnané} (Std − dev) p = sqrt [i∑ j∑ wi wj (std − dev) i (std − dev) j (cor-cofij)]

Tu je cor-cof korelačný koeficient medzi výnosmi aktív i a j a sqrt je druhá odmocnina.

Tým sa zabezpečuje relatívna výkonnosť každého aktíva vo vzťahu k druhému.

Aj keď sa to javí matematicky zložité, jednoduchý koncept, ktorý sa tu uplatňuje, zahŕňa nielen štandardné odchýlky jednotlivých aktív, ale aj tie, ktoré s nimi súvisia.

Dobrým príkladom je tu od University of Washington.

Stručný príklad MPT

Ako myšlienkový experiment si predstavme, že sme správcom portfólia, ktorému bol pridelený kapitál a ktorého úlohou je, aby sa kapitál pridelil dvom dostupným aktívam (A a B), aby sa maximalizoval očakávaný výnos a znížilo riziko.

K dispozícii sú aj nasledujúce hodnoty:

Ra = 0, 175

Rb = 0, 055

(Std-dev) _a = 0, 258

(Std-dev) _b = 0, 115

(Std-dev) _ab = -0, 004875

(Cor-cof) _ab = -0, 164

Počínajúc rovnakou alokáciou 50 až 50 pre každé aktívum A a B, _{Rp sa} počíta na 0, 115 a (Std-dev) _p sa rovná 0, 13323. Jednoduché porovnanie nám hovorí, že v prípade tohto 2 portfólia aktív je návratnosť aj riziko na polovici medzi jednotlivými hodnotami každého aktíva.

Naším cieľom je však zlepšiť výnosnosť portfólia nad rámec priemeru jednotlivých aktív a znížiť riziko tak, aby bolo nižšie ako u jednotlivých aktív.

Pozrime sa teraz na pozíciu 1, 5 pri alokácii kapitálu v aktívach A a –0, 5 do pozície alokácie kapitálu v aktívach B. (Záporné alokácie kapitálu znamenajú skratovanie toho, že získané zásoby a kapitál sa použijú na nákup prebytku iného aktíva s kladnou alokáciou kapitálu. inými slovami, krátime zásoby B na 0, 5-násobok kapitálu a tieto peniaze použijeme na nákup akcií A za sumu 1, 5-krát kapitálu.)

Použitím týchto hodnôt dostaneme _Rp ako 0, 1604 a (Std-dev) _p ako 0, 4005.

Podobne môžeme aj naďalej používať rôzne alokačné váhy na aktíva A a B a dospieť k rôznym súborom Rp a (Std-dev) s. Podľa požadovaného výnosu (Rp) je možné zvoliť najprijateľnejšiu úroveň rizika (std-dev) str. Alternatívne, pre požadovanú úroveň rizika, si môžete vybrať najlepší dostupný výnos z portfólia. V oboch prípadoch je prostredníctvom tohto matematického modelu teórie portfólia možné dosiahnuť cieľ, ktorým je vytvorenie efektívneho portfólia s požadovanou kombináciou rizika a návratnosti.

Použitie automatizovaných nástrojov umožňuje ľahko a hladko zistiť najlepšie možné pridelené proporcie bez potreby zdĺhavých manuálnych výpočtov.

Efektívna hranica, model stanovovania kapitálových aktív (CAPM) a oceňovanie aktív pomocou MPT sa tiež vyvíjajú z rovnakého normálneho distribučného modelu a sú rozšírením na MPT.

Výzvy voči MPT (a základné normálne rozdelenie)

Bohužiaľ, žiadny matematický model nie je dokonalý a každý má nedostatky a obmedzenia.

Základný predpoklad, že výnosy z akcií nasledujú po normálnej distribúcii, je znova a znova spochybňovaný. Existuje dostatočný empirický dôkaz o prípadoch, keď hodnoty nedodržiavajú predpokladané normálne rozdelenie. Zakladanie komplexných modelov na takýchto predpokladoch môže viesť k výsledkom s veľkými odchýlkami.

Ak sa pozrieme ďalej na MPT, výpočty a predpoklady týkajúce sa korelačného koeficientu a zostávajúcej pevnosti kovariancie (na základe historických údajov) nemusia nevyhnutne platiť pre budúce očakávané hodnoty. Napríklad dlhopisové a akciové trhy vykázali dokonalú koreláciu na britskom trhu v období rokov 2001 až 2004, keď výnosy z oboch aktív poklesli súčasne. V skutočnosti bol opak pozorovaný počas dlhých historických období pred rokom 2001.

V tomto matematickom modeli sa správanie investorov nezohľadňuje. Dane a transakčné náklady sa zanedbávajú, aj keď sa predpokladá čiastočné rozdelenie kapitálu a možnosť skratovania aktív.

V skutočnosti žiadny z týchto predpokladov nemusí platiť, čo znamená, že realizované finančné výnosy sa môžu výrazne líšiť od očakávaných ziskov.

Spodný riadok

Matematické modely poskytujú dobrý mechanizmus na kvantifikáciu niektorých premenných pomocou jednoduchých sledovateľných čísel. Ale kvôli obmedzeniam predpokladov môžu modely zlyhať.

Normálna distribúcia, ktorá tvorí základ teórie portfólia, sa nemusí nevyhnutne vzťahovať na akcie a iné vzorce cien finančných aktív. Teória portfólia sama o sebe má množstvo predpokladov, ktoré by sa mali kriticky preskúmať, skôr ako urobia dôležité finančné rozhodnutia.