Preskúmanie exponenciálne váženého kĺzavého priemeru

Volatilita je najbežnejším meradlom rizika, má však niekoľko príchutí. V predchádzajúcom článku sme ukázali, ako vypočítať jednoduchú historickú volatilitu. V tomto článku sa zlepšíme jednoduchú volatilitu a diskutujeme exponenciálne vážený kĺzavý priemer (EWMA).

Historická vs. implikovaná volatilita

Najprv dajte túto metriku do trochu perspektívy. Existujú dva všeobecné prístupy: historická a implikovaná (alebo implicitná) volatilita. Historický prístup predpokladá, že minulosť je prologom; históriu merame v nádeji, že je prediktívna. Na druhej strane implikovaná volatilita ignoruje históriu; rieši volatilitu implikovanú trhovými cenami. Dúfa, že trh vie najlepšie a že trhová cena obsahuje, aj keď implicitne, konsenzuálny odhad volatility.

Ak sa zameriame iba na tri historické prístupy (vľavo hore), majú spoločné dva kroky:

1. Vypočítajte sériu pravidelných výnosov
2. Použite schému váženia

Najprv vypočítame periodický výnos. Zvyčajne ide o sériu denných výnosov, pri ktorých je každý výnos vyjadrený nepretržite zloženým spôsobom. Pre každý deň berieme prirodzený záznam o pomere cien akcií (tj cena dnes vydelená cenou včera atď.).

ui = lnsisi − 1 kdekoľvek: ui = návrat v deň isi = cena akcie v deň isi − 1 = cena akcie deň pred dňom i \ begin {zarovnané} & u_i = ln \ frac {s_i} {s_ {i - 1}} \\ & \ textbf {pričom:} \\ & u_i = \ text {návrat v deň} i \\ & s_i = \ text {cena akcie v deň} i \\ & s_ {i - 1} = \ text {cena akcie v deň do dňa} i \\ \ end {zarovnané} ui = lnsi − 1 si kde: ui = návrat v deň isi = cena akcií v deň isi − 1 = cena akcií deň pred dňom i

Toto vytvára sériu denných výnosov, od u _i do u _im, v závislosti od toho, koľko dní (m = dní) merame.

To nás privádza k druhému kroku: Tu sa tieto tri prístupy líšia. V predchádzajúcom článku sme ukázali, že pri niekoľkých prijateľných zjednodušeniach je jednoduchá odchýlka priemerom druhých mocnín:

variance = σn2 = 1mΣi = 1mun − 12, kde: m = počet dní Measedn = dayiu = rozdiel návratnosti od priemerného návratu \ začiatok {zarovnaný} & \ text {variance} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} { m} \ Sigma ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {kde:} \\ & m = \ text {meraný počet dní} \\ & n = \ text {deň} i \\ & u = \ text {rozdiel návratnosti od priemerného návratu} \\ \ end {zarovnaný} rozptyl = σn2 = m1 Σi = 1m un − 12, kde: m = počet dní Measedn = dayiu = rozdiel návratnosti z priemernej návratnosti

Všimnite si, že súčet všetkých pravidelných výnosov sa potom vydelí týmto súčtom počtom dní alebo pozorovaní (m). Je to skutočne iba priemer z druhých pravidelných výnosov. Inak povedané, každému návratu na druhú stranu sa pridelí rovnaká váha. Takže ak alfa (a) je váhový faktor (konkrétne a = 1 / m), vyzerá jednoduchá odchýlka takto:

EWMA vylepšuje jednoduché variácie
Slabou stránkou tohto prístupu je, že všetky výnosy dosahujú rovnakú váhu. Včerajší návrat (veľmi nedávny) nemá na rozptyl väčší vplyv ako návrat z minulého mesiaca. Tento problém je vyriešený použitím exponenciálne váženého kĺzavého priemeru (EWMA), v ktorom novšie výnosy majú väčšiu odchýlku od rozptylu.

Exponenciálne vážený kĺzavý priemer (EWMA) predstavuje lambda, ktorá sa nazýva vyhladzovací parameter. Lambda musí byť menej ako jedna. Za týchto podmienok sa namiesto rovnakých hmotností každý návrat na druhú stranu váži multiplikátorom takto:

Napríklad spoločnosť RiskMetrics ^TM _, spoločnosť zaoberajúca sa riadením finančného rizika, má tendenciu používať lambdu 0, 94 alebo 94%. V tomto prípade je prvý (najaktuálnejší) kvadratický periodický výnos vážený (1-0, 94) (0, 94) ⁰ = 6%. Ďalší návrat na druhú mocninu je jednoducho násobok lambda predchádzajúcej hmotnosti; v tomto prípade 6% vynásobené 94% = 5, 64%. A hmotnosť tretieho predchádzajúceho dňa sa rovná (1-0, 94) (0, 94) ² = 5, 30%.

To je význam pojmu „exponenciálny“ v EWMA: každá hmotnosť je konštantný multiplikátor (tj lambda, ktorý musí byť menší ako jeden) hmotnosti predchádzajúceho dňa. Toto zaisťuje odchýlku, ktorá je vážená alebo skreslená smerom k novším údajom. Rozdiel medzi jednoducho volatilitou a EWMA pre Google je uvedený nižšie.

Jednoduchá volatilita efektívne váži každú periodickú návratnosť o 0, 196%, ako je uvedené v stĺpci O (mali sme dva roky denných údajov o cenách akcií. To je 509 denných výnosov a 1/509 = 0, 196%). Všimnite si však, že stĺpec P priraďuje váhu 6%, potom 5, 64%, potom 5, 3% a tak ďalej. To je jediný rozdiel medzi jednoduchým rozptylom a EWMA.

Pamätajte si, že keď spočítame celú sériu (v stĺpci Q), máme rozptyl, ktorý je štvorcom štandardnej odchýlky. Ak chceme volatilitu, musíme pamätať na druhú odmocninu tohto rozptylu.

Aký je rozdiel v dennej volatilite medzi odchýlkou ​​a EWMA v prípade spoločnosti Google “>

Dnešná variácia je funkciou variácie predchádzajúceho dňa

Všimnite si, že sme potrebovali vypočítať dlhú sériu exponenciálne klesajúcich váh. Tu nebudeme robiť matematiku, ale jednou z najlepších vlastností EWMA je to, že celá séria sa pohodlne redukuje na rekurzívny vzorec:

σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un-12 kdekoľvek: λ = stupeň zníženia váhy σ2 = hodnota v časovom období nu2 = hodnota EWMA v časovom období n \ begin {align} & \ sigma ^ 2_n (ewma) = \ lambda \ sigma ^ 2_ {n} + (1 - \ lambda) u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {kde:} \\ & \ lambda = \ text {stupeň zníženia váhy} \ \ & \ sigma ^ 2 = \ text {hodnota v časovom období} n \\ & u ^ 2 = \ text {hodnota EWMA v časovom období} n \\ \ end {zarovnaný} σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 kde: λ = stupeň zníženia váhy σ2 = hodnota v časovom období nu2 = hodnota EWMA v časovom období n

Rekurzívne znamená, že dnešné referencie rozptylu (tj sú funkciou rozptylu predchádzajúceho dňa). Tento vzorec nájdete aj v tabuľke a poskytuje presne rovnaký výsledok ako pri výpočte dlhých rúk! Hovorí: dnešná rozptyl (podľa EWMA) sa rovná včerajšiemu rozptylu (vážený lambda) plus včerajší štvorcový výnos (vážený jednou mínus lambda). Všimnite si, ako iba pridávame dva výrazy: včerajší vážený rozptyl a včerajší vážený a kvadratický výnos.

Aj tak je lambda náš vyhladzovací parameter. Vyššia hodnota lambda (napr. Ako 94% rizika RiskMetric) naznačuje pomalší rozklad v sérii - v relatívnom vyjadrení budeme mať v rade viac údajových bodov a pomalšie „spadnú“. Na druhej strane, ak znížime lambdu, označíme vyšší úpadok: váhy klesajú rýchlejšie a ako priamy dôsledok rýchleho rozpadu sa použije menej údajových bodov. (V tabuľke je lambda vstup, takže môžete experimentovať s jej citlivosťou).

zhrnutie
Volatilita je okamžitá štandardná odchýlka zásoby a najbežnejšia metrika rizika. Je to tiež druhá odmocnina rozptylu. Rozptyl môžeme merať historicky alebo nepriamo (implikovaná volatilita). Pri historickom meraní je najjednoduchšou metódou jednoduchý rozptyl. Ale slabosť s jednoduchým rozptylom je, že všetky výnosy majú rovnakú váhu. Čelíme teda klasickému kompromisu: vždy chceme viac údajov, ale čím viac údajov máme, tým viac je náš výpočet zriedený vzdialenými (menej relevantnými) údajmi. Exponenciálne vážený kĺzavý priemer (EWMA) sa pri jednoduchom rozptyle zlepšuje priraďovaním váh periodickým výnosom. Týmto spôsobom môžeme použiť veľkú veľkosť vzorky, ale aj väčšiu váhu novším výnosom.