Pochopenie časovej hodnoty peňazí

Gratulujeme !!! Vyhrali ste hotovostnú cenu! Máte dve možnosti platby: A: Teraz môžete získať 10 000 dolárov alebo B: Dostať 10 000 dolárov za tri roky. Ktorú možnosť by ste si vybrali?

Aká je časová hodnota peňazí?

Ak ste ako väčšina ľudí, teraz by ste sa rozhodli získať 10 000 dolárov. Koniec koncov, tri roky je dlho čakať. Prečo by nejaká racionálna osoba odložila platbu do budúcnosti, keď teraz môže mať rovnaké množstvo peňazí? Pre väčšinu z nás je brať peniaze v súčasnosti jednoducho inštinktívne. Takže na najzákladnejšej úrovni časová hodnota peňazí ukazuje, že všetky veci sú rovnaké, zdá sa lepšie mať peniaze teraz ako neskôr.

Ale prečo je to tak? Platba 100 dolárov má rovnakú hodnotu ako 100 dolárov od účtu za rok, však? V skutočnosti, hoci účet je rovnaký, s peniazmi môžete robiť oveľa viac, ak ich máte teraz, pretože v priebehu času môžete získať viac úrokov za svoje peniaze.

Späť na náš príklad: Dnešným prijatím 10 000 dolárov ste pripravení zvýšiť budúcu hodnotu svojich peňazí investovaním a získaním úroku v určitom časovom období. Pri možnosti B nemáte čas na svojej strane a platba prijatá do troch rokov by bola vašou budúcou hodnotou. Na ilustráciu sme poskytli časový harmonogram:

Ak vyberiete možnosť A, vaša budúca hodnota bude 10 000 dolárov plus akýkoľvek úrok získaný za tieto tri roky. Na druhej strane budúca hodnota pre možnosť B bude iba 10 000 dolárov. Ako teda môžete presne vypočítať, o koľko viac stojí možnosť A v porovnaní s možnosťou B? Pozrime sa.

Základy budúcej hodnoty

Ak vyberiete možnosť A a celkovú sumu investujete jednoduchou ročnou sadzbou 4, 5%, budúca hodnota vašej investície na konci prvého roka je 10 450 USD. K tejto sume dospejeme vynásobením istiny 10 000 dolárov úrokovou sadzbou 4, 5% a následným pripočítaním získaného úroku k čiastke istiny:

10 000 × 0, 045 = $ 450 \ začiatok {zarovnané} & \ 10 000 $ \ krát 0, 045 = \ $ 450 \\ \ end {zarovnané} 10 000 × 0, 045 = 450 $

450 $ + 10 000 $ = 10 450 $ \ begin {zarovnané} & \ 450 $ + \ $ 10 000 = \ $ 10 450 \\ \ end {zarovnané} 450 $ + 10 000 $ = 10 450 $

Môžete tiež vypočítať celkovú sumu jednoročnej investície pomocou jednoduchej manipulácie s vyššie uvedenou rovnicou:

OE = (10 000 × 0, 045) + 10 000 $ = 10 450 $ kdekoľvek: OE = pôvodná rovnica \ začiatok {zarovnané} a \ text {OE} = (\ 10 000 $ \ krát 0, 045) + \ 10 000 = = 10 450 $ \\ & \ textbf {kde :} \\ & \ text {OE} = \ text {Pôvodná rovnica} \\ \ end {zarovnaný} OE = (10 000 × 0, 045) + 10 000 $ = 10 450 $ kdekoľvek: OE = Pôvodná rovnica

Manipulácia = 10 000 $ × [(1 × 0, 045) +1] = 10 450 $ \ začiatok {zarovnané} & \ text {Manipulácia} = \ 10 000 $ \ krát [(1 \ krát 0, 045) + 1] = \ 10 450 $ \\ \ end { zarovnané} manipulácia = 10000 $ x [(1 x 0, 045) 1] = $ 10.450

Konečná rovnica = 10 000 $ × (0, 045 + 1) = 10 450 $ \ začiatok {zarovnané} & \ text {Konečná rovnica} = \ 10 000 $ \ krát (0, 045 + 1) = \ 10 400 $ \\ {end} zarovnaná = konečná $ 10 000 x (0, 045 + 1) = $ 10.450

Vyššie uvedená manipulovaná rovnica je jednoducho odstránením podobne premennej 10 000 dolárov (suma istiny) vydelením celej pôvodnej rovnice 10 000 USD.

Ak zostane 10, 450 dolárov na vašom investičnom účte na konci prvého roka nedotknuté a vy ste ho investovali 4, 5% na ďalší rok, koľko by ste mali? Pri výpočte by ste si vzali 10 450 dolárov a vynásobte ich znova 1, 045 (0, 045 +1). Na konci dvoch rokov by ste mali 10 920, 25 dolárov.

Výpočet budúcej hodnoty

Uvedený výpočet sa teda rovná nasledujúcej rovnici:

Budúca hodnota = 10 000 $ × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045) \ začiatok {zarovnané} & \ text {Budúca hodnota} = \ 10 000 $ \ krát (1 + 0, 045) \ krát (1 + 0, 045) \\ \ end {zarovnaný} Budúca hodnota = 10 000 $ × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045)

Spomeňte si na matematickú triedu a pravidlo exponentov, v ktorom sa uvádza, že množenie podobných výrazov je rovnocenné s pridaním ich exponentov. Vo vyššie uvedenej rovnici sú dva rovnaké výrazy (1+ 0, 045) a exponent na každom je rovný 1. Preto možno rovnicu vyjadriť takto:

Budúca hodnota = 10 000 $ × (1 + 0, 045) 2 \ začiatok {zarovnané} & \ text {Budúca hodnota} = \ 10 000 $ \ krát (1 + 0, 045) ^ 2 \\ \ end {zarovnané} Budúca hodnota = 10 000 $ × ( 1 + 0, 045) 2

Vidíme, že exponent sa rovná počtu rokov, za ktoré peniaze zarábajú na investícii. Rovnica na výpočet budúcej trojročnej hodnoty investície by tak vyzerala takto:

Budúca hodnota = 10 000 $ × (1 + 0, 045) 3 \ začiatok {zarovnané} & \ text {Budúca hodnota} = \ 10 000 $ \ krát (1 + 0, 045) ^ 3 \\ \ end {zarovnané} Budúca hodnota = 10 000 $ × ( 1 + 0, 045) 3

Nepotrebujeme však počítať s výpočtom budúcej hodnoty po prvom roku, potom po druhom roku, potom po treťom roku atď. Môžete to tak povedať naraz. Ak poznáte súčasnú sumu peňazí, ktoré máte na investíciu, mieru návratnosti a koľko rokov by ste chceli túto investíciu držať, môžete vypočítať budúcu hodnotu (FV) tejto sumy. Je to vykonané pomocou rovnice:

FV = PV × (1 + i) kdekoľvek: FV = budúca hodnotaPV = súčasná hodnota (pôvodná suma peňazí) i = úroková sadzba za obdobien = počet období \ začiatok {zarovnané} & \ text {FV} = \ text { PV} \ times (1 + i) ^ n \\ & \ textbf {kde:} \\ & \ text {FV} = \ text {Budúca hodnota} \\ & \ text {PV} = \ text {Aktuálna hodnota ( pôvodná suma peňazí)} \\ & i = \ text {Úroková sadzba za obdobie} \\ & n = \ text {Počet období} \\ \ end {zarovnaný} FV = PV × (1 + i) kdekoľvek: FV = Budúca hodnotaPV = súčasná hodnota (pôvodná suma peňazí) i = úroková sadzba za obdobien = počet období

Základy súčasnej hodnoty

Ak by ste dnes dostali 10 000 dolárov, jeho súčasná hodnota by, samozrejme, bola 10 000 dolárov, pretože súčasná hodnota je to, čo vám teraz poskytne vaša investícia, ak by ste ju dnes mali minúť. Keby ste mali dostať 10 000 dolárov v jednom roku, súčasná hodnota tejto sumy by nebola 10 000 dolárov, pretože ju nemáte v ruke teraz, v súčasnosti.

Ak chcete nájsť súčasnú hodnotu 10 000 dolárov, ktorú dostanete v budúcnosti, musíte predstierať, že 10 000 USD je celková budúca hodnota sumy, ktorú ste dnes investovali. Inými slovami, aby sme zistili súčasnú hodnotu budúcich 10 000 dolárov, musíme zistiť, koľko by sme dnes museli investovať, aby sme mohli získať 10 000 dolárov za jeden rok.

Na výpočet súčasnej hodnoty alebo sumy, ktorú by sme dnes museli investovať, musíte odpočítať (hypotetický) akumulovaný úrok od 10 000 dolárov. Aby sme to dosiahli, môžeme diskontovať budúcu sumu platby (10 000 dolárov) úrokovou sadzbou za dané obdobie. V podstate všetko, čo robíte, je usporiadanie rovnice budúcej hodnoty vyššie, aby ste mohli vyriešiť súčasnú hodnotu (PV). Vyššie uvedenú budúcu hodnotovú rovnicu je možné prepísať takto:

PV = FV (1 + i) n \ začiatok {zarovnané} a \ text {PV} = \ frac {\ text {FV}} {(1 + i) ^ n} \\ \ end {zarovnané} PV = (1 + i) NFV

Alternatívna rovnica by bola:

PV = FV × (1 + i) - kdekoľvek: PV = súčasná hodnota (pôvodná suma peňazí) FV = budúca hodnotai = úroková miera za obdobien = počet období \ začiatok {zarovnané} & \ text {PV} = \ text {FV} \ times (1 + i) ^ {- n} \\ & \ textbf {kde:} \\ & \ text {PV} = \ text {Súčasná hodnota (pôvodná suma peňazí)} \\ & \ text {FV} = \ text {Budúca hodnota} \\ & i = \ text {Úroková sadzba za obdobie} \\ & n = \ text {Počet období} \\ \ end {zarovnaný} PV = FV × (1 + i) - ak: PV = súčasná hodnota (pôvodná suma peňazí) FV = budúca hodnotai = úroková miera za obdobien = počet období

Výpočet súčasnej hodnoty

Poďme späť od 10 000 dolárov, ktoré ponúka možnosť B. Pamätajte, že 10 000 dolárov, ktoré sa majú dostať do troch rokov, je skutočne rovnaké ako budúca hodnota investície. Keby sme mali jeden rok, než sme dostali peniaze, zľavu by sme vrátili o jeden rok. Pri použití nášho vzorca súčasnej hodnoty (verzia 2) by pri súčasnej dvojročnej ochrannej známke bola súčasná hodnota 10 000 dolárov, ktoré majú byť prijaté v jednom roku, 10 000 x x (1 + 0, 4545) ^-1 = 9569, 38 USD.

Všimnite si, že ak by sme dnes boli na ročnej hranici, vyššie 9 569, 38 dolárov by sa od budúceho roka považovala za budúcu hodnotu našej investície.

Na konci prvého roka by sme očakávali, že do dvoch rokov dostaneme platbu 10 000 dolárov. Pri úrokovej sadzbe 4, 5% by bol výpočet súčasnej hodnoty platby 10 000 dolárov očakávanej za dva roky 10 000 x x (1 + 0, 45) ^-2 = 9157, 30 USD.

Samozrejme, kvôli pravidlu vývozcov nemusíme každý rok počítať budúcu hodnotu investície, počítajúc z investície 10 000 dolárov v treťom roku. Mohli by sme dať rovnicu stručne a použiť 10 000 dolárov ako FV. Takto môžete vypočítať dnešnú súčasnú hodnotu 10 000 dolárov, ktorá sa očakáva od trojročnej investície so ziskom 4, 5%:

8 762, 97 $ = 10 000 × × (1 + 0, 4545) −3 \ začiatok {zarovnané} a \ 8 862 627 $ = \ 10 000 $ \ krát (1 + 0, 045) ^ {- 3} \\ \ end {zarovnané} 8 762, 97 $ = 10 000 $ × ( 1 + 0, 045) -3

Takže súčasná hodnota budúcej platby 10 000 dolárov má dnes hodnotu 8 762, 97 dolárov, ak úrokové sadzby sú 4, 5% ročne. Inými slovami, výber možnosti B je ako vziať 8 762, 97 dolárov teraz a potom ich investovať tri roky. Vyššie uvedené rovnice ukazujú, že možnosť A je lepšia nielen preto, že vám práve teraz ponúka peniaze, ale tiež preto, že vám ponúka viac 1 237, 03 dolárov (10 000 - 8 762, 97 dolárov) v hotovosti! Okrem toho, ak investujete 10 000 dolárov, ktoré dostanete z možnosti A, váš výber vám poskytne budúcu hodnotu, ktorá je o 1 411, 66 USD (11 411, 66 - 10 000 USD) vyššia ako budúca hodnota pre možnosť B.

Súčasná hodnota budúcej platby

Poďme hore v našej ponuke. Čo keď bude budúca platba vyššia ako suma, ktorú dostanete ihneď? Povedzme, že by ste dnes mohli získať buď 15 000 dolárov alebo 18 000 dolárov za štyri roky. Rozhodnutie je teraz ťažšie. Ak sa rozhodnete dostávať dnes 15 000 dolárov a investovať celú sumu, môžete za štyri roky skončiť s hotovosťou, ktorá je nižšia ako 18 000 dolárov.

Ako sa rozhodnúť? Mohli by ste nájsť budúcu hodnotu 15 000 dolárov, ale keďže stále žijeme v súčasnosti, nájdeme súčasnú hodnotu 18 000 dolárov. Tentoraz predpokladáme, že úrokové sadzby sú v súčasnosti 4%. Pamätajte, že rovnica súčasnej hodnoty je nasledovná:

PV = FV × (1 + i) −n \ začiatok {zarovnané} a \ text {PV} = \ text {FV} \ krát (1 + i) ^ {- n} \\ \ end {zarovnané} PV = FV x (1 + i) -n

Vo vyššie uvedenej rovnici všetko, čo robíme, je diskontovanie budúcej hodnoty investície. Použitím vyššie uvedených čísel by sa súčasná hodnota platby 18 000 dolárov za štyri roky vypočítala ako 18 000 dolárov x (1 + 0, 04) ^-4 = 15 386, 48 USD.

Z vyššie uvedeného výpočtu teraz vieme, že našou dnešnou voľbou je výber medzi 15 000 alebo 15 386, 48 dolárov. Samozrejme by sme sa mali rozhodnúť odložiť platbu o štyri roky!

Spodný riadok

Tieto výpočty ukazujú, že čas sú doslova peniaze - hodnota peňazí, ktoré teraz máte, nie je rovnaká ako v budúcnosti a naopak. Preto je dôležité vedieť, ako vypočítať časovú hodnotu peňazí, aby ste mohli rozlišovať medzi hodnotou investícií, ktoré vám ponúkajú návratnosť v rôznych časoch. (Súvisiace čítanie nájdete v časti „Časová hodnota peňazí a dolár“).