Zložené úroky
Zložený úrok (alebo zložený úrok) je úrok vypočítaný z pôvodnej istiny, ktorý zahŕňa aj všetky akumulované úroky z predchádzajúcich období vkladu alebo úveru. Ak sa predpokladá, že vznikol v Taliansku v 17. storočí, zložený úrok sa môže považovať za „úrok z úroku“ a spôsobí, že suma narastie rýchlejšie ako jednoduchý úrok, ktorý sa počíta iba z istiny.
Kľúčové jedlá
- Zložený úrok (alebo zložený úrok) je úrok vypočítaný z pôvodnej istiny, ktorý zahŕňa aj všetky akumulované úroky z predchádzajúcich období vkladu alebo úveru.
- Zložené úroky sa vypočítajú vynásobením pôvodnej sumy istiny jednou plus ročná zvýšená úroková sadzba na počet zložených období mínus jedna.
- Úrok môže byť znásobený akýmkoľvek daným harmonogramom frekvencie, od nepretržitého po denné až ročne.
- Pri výpočte zloženého úroku predstavuje počet kombinovaných období významný rozdiel.
Miera, v ktorej úrokový úrok narastá, závisí od frekvencie kombinovania, takže čím vyšší je počet kombinovaných období, tým vyšší je úrokový úrok. Čiastka úrokového úroku nahromadeného na 100 USD zloženého pri 10% ročne bude teda nižšia ako suma na 100 USD zložená pri 5% polročne za rovnaké časové obdobie. Keďže efekt úroku na úrok môže na základe pôvodnej výšky istiny generovať čoraz pozitívnejšie výnosy, niekedy sa nazýva „zázrak zloženého úroku“.
01:59Pochopenie zloženého úroku
Výpočet zloženého úroku
Zložené úroky sa vypočítajú vynásobením pôvodnej sumy istiny jednou plus ročná zvýšená úroková sadzba na počet zložených období mínus jedna. Celková počiatočná suma úveru sa potom odpočíta od výslednej hodnoty.
Vzorec na výpočet úroku z úrokov je:
Zložené úroky = celková suma istiny a úrokov v budúcnosti (alebo budúcej hodnoty) mínus výška istiny v súčasnosti (alebo súčasná hodnota)
= [P (1 + i ) n ] - P
= P [(1 + i ) n - 1]
(Ak P = príkazca, i = nominálna ročná úroková miera v percentách a n = počet kombinovaných období.)
Vezmite trojročnú pôžičku vo výške 10 000 dolárov s úrokovou sadzbou 5%, ktorá sa každoročne spája. Aká by bola výška úroku ">
Rast zloženého úroku
Použitím vyššie uvedeného príkladu, pretože zložený úrok zohľadňuje aj akumulovaný úrok v predchádzajúcich obdobiach, výška úroku nie je rovnaká pre všetky tri roky, ako by to bolo s jednoduchým úrokom. Kým celkový úrok splatný počas trojročného obdobia tejto pôžičky je 1 576, 25 USD, úrok z omeškania na konci každého roka je uvedený v nasledujúcej tabuľke.
Obdobia zloženia
Pri výpočte zloženého úroku predstavuje počet kombinovaných období významný rozdiel. Základným pravidlom je, že čím vyšší je počet období zloženia, tým väčšie je množstvo zloženého úroku.
Nasledujúca tabuľka ukazuje rozdiel, ktorý môže počet kombinovaných období priniesť pre pôžičku 10 000 dolárov s ročnou úrokovou sadzbou 10% počas 10 rokov.
Zložené úroky môžu z dlhodobého hľadiska významne zvýšiť návratnosť investícií. Kým 100 000 dolárov vklad, ktorý získa 5% jednoduchého úroku, by získal úrok za 50 rokov za 10 rokov, zložený úrok 5% z 10 000 dolárov by v rovnakom období predstavoval 62 889, 46 USD.
Výpočet zloženia Excelu
Ak je to už dávno od vašich matematických dní, nebojte sa: Existujú užitočné nástroje, ktoré vám pomôžu zostaviť postavu. Mnoho kalkulačiek (ručných aj počítačových) má exponentné funkcie, ktoré je možné na tieto účely využiť. Ak sa vyskytnú komplikovanejšie úlohy zloženia, môžu sa vykonať pomocou programu Microsoft Excel - tromi rôznymi spôsobmi.
- Prvým spôsobom, ako vypočítať zložený úrok, je vynásobiť každý rok nový zostatok úrokovou sadzbou. Predpokladajme, že vkladáte 1 000 dolárov na sporiaci účet s úrokovou sadzbou 5%, ktorá sa každoročne spája, a chcete zostatok vypočítať do piatich rokov. V programe Microsoft Excel zadajte do bunky A1 „Rok“ a do bunky B1 „Zostatok“. Zadajte 0 až 5 rokov do buniek A2 až A7. Zostatok za rok 0 je 1 000 dolárov, takže do bunky B2 by ste zadali „1 000“. Potom do bunky B3 zadajte „= B2 * 1, 05“. Potom zadajte do bunky B4 „= B3 * 1, 05“ a pokračujte v tom, kým sa nedostanete k bunke B7. V bunke B7 je výpočet "= B6 * 1, 05". Vypočítaná hodnota v bunke B7 - 1 276, 28 dolárov - je zostatok na vašom sporiacom účte po piatich rokoch. Ak chcete nájsť zloženú úrokovú hodnotu, odčítajte 1 000 USD od 1 276, 28 USD; získate tak hodnotu 276, 28 USD.
- Druhým spôsobom výpočtu úrokovej úrokovej sadzby je použitie pevného vzorca. Zložený úrokový vzorec je ((P * (1 + i) ^ n) - P), kde P je istina, i je ročná úroková miera a n je počet období. Použitím rovnakých informácií uvedených vyššie zadajte do bunky A1 hodnotu „Hlavná hodnota“ a do bunky B1 hodnotu 1000. Potom do bunky A2 zadajte „Úroková miera“ a do bunky B2 „0, 05“. Do políčka A3 zadajte „Zložené obdobia“ a do bunky B3 zadajte „5“. Teraz môžete vypočítať zložený úrok v bunke B4 zadaním „= (B1 * (1 + B2) ^ B3) -B1“, čo vám poskytne 276, 28 USD.
- Tretí spôsob výpočtu zloženého úroku je vytvorenie funkcie makra. Najprv spustite editor jazyka Visual Basic, ktorý sa nachádza na karte Developer. Kliknite na ponuku Vložiť a potom na položku Modul. Potom v prvom riadku napíšte „Function Compound_Interest (P ako Double, i As Double, n As Double) As Double“. Na druhom riadku stlačte kláves Tab a napíšte „Compound_Interest = (P * (1 + i) ^ n) - P“. Na treťom riadku modulu zadajte „End Function“. Vytvorili ste funkčné makro na výpočet zloženej úrokovej sadzby. Pokračujte z toho istého pracovného hárka programu Excel vyššie, zadajte do bunky A6 "Zúčastnený záujem" a zadajte "= Zložený_záujem (B1, B2, B3)". Získate tak hodnotu 276, 28 dolárov, čo je v súlade s prvými dvoma hodnotami.
Používanie iných kalkulačiek
Ako je uvedené vyššie, množstvo bezplatných zložených úrokových kalkulačiek sa ponúka online a mnoho vreckových kalkulačiek môže tieto úlohy vykonávať tiež.
- Kalkulačka bezplatného zloženého úroku ponúkaná prostredníctvom Financial-Calculators.com je jednoduchá na obsluhu a ponúka zložené výbery frekvencií každý deň až ročne. Zahŕňa možnosť vybrať nepretržité zloženie a tiež umožňuje zadávať skutočné dátumy začiatku a konca kalendára. Po zadaní potrebných výpočtových údajov výsledky ukazujú úrok, budúcu hodnotu, ročný percentuálny výnos (APY), čo je miera zahŕňajúca zloženie a denný úrok.
- Investor.gov, webová stránka, ktorú prevádzkuje Komisia pre cenné papiere a burzu USA (SEC), ponúka bezplatnú online zloženú kalkulačku úrokov. Kalkulačka je pomerne jednoduchá, ale umožňuje zadávať mesačné dodatočné vklady hlavnému zodpovednému, čo je užitočné pri výpočte zárobkov, v ktorých sa ukladajú ďalšie mesačné úspory.
- Bezplatná online kalkulačka úrokov s niekoľkými ďalšími funkciami je k dispozícii na adrese TheCalculatorSite.com. Táto kalkulačka umožňuje výpočty pre rôzne meny, schopnosť započítavať mesačné vklady alebo výbery, ako aj možnosť automaticky vypočítať aj nárasty prispôsobené inflácii na mesačné vklady alebo výbery.
Frekvencia zloženia
Úroky sa môžu zvyšovať podľa ľubovoľného daného frekvenčného plánu, od denného po každý rok. Na finančné nástroje sa zvyčajne používajú štandardné harmonogramy zloženia frekvencií.
Bežne používaný plán zloženia pre sporiaci účet v banke je denne. V prípade CD sú typické harmonogramy frekvencie kombinovania denné, mesačné alebo polročné; pre účty peňažného trhu je to často denne. V prípade hypotekárnych úverov na bývanie, pôžičiek na vlastný kapitál, pôžičiek na osobné podnikanie alebo účtov kreditných kariet je najbežnejšie uplatňovaným harmonogramom zostavovania mesačne. Môžu sa vyskytnúť aj rozdiely v časovom rámci, v ktorom sa nahromadený úrok skutočne pripíše k existujúcemu zostatku. Úroky na účte sa môžu spájať denne, ale pripisujú sa iba mesačne. Dodatočný úrok na účte sa získa až vtedy, keď sa úrok skutočne pripíše alebo pridá k existujúcemu zostatku.
Niektoré banky ponúkajú aj niečo, čo sa nazýva nepretržité zvyšovanie úroku, čo zvyšuje istinu v každom možnom okamihu. Z praktických dôvodov nevzniká toľko viac ako denného úroku, pokiaľ nechcete vkladať peniaze a vyberať ich v ten istý deň.
Častejšie zloženie úrokov je prospešné pre investora alebo veriteľa. Pre dlžníka je opak pravdou.
Časová hodnota peňazí
Pochopenie časovej hodnoty peňazí a exponenciálneho rastu vytvoreného zložením je nevyhnutné pre investorov, ktorí sa snažia optimalizovať svoje príjmy a bohatstvo.
Vzorec na získanie budúcej hodnoty (FV) a súčasnej hodnoty (PV) je nasledujúci:
FV = PV (1 + i) n a PV = FV / (1 + i) n
Napríklad budúca hodnota 10 000 dolárov sa zvyšuje na 5% ročne po dobu troch rokov:
= 10 000 USD (1 + 0, 05) 3
= 10 000 USD (1, 157625)
= 11 576, 25 USD
Súčasná hodnota 11 576, 25 USD zľava na 5% počas troch rokov:
= 11 576, 25 $ (1 + 0, 05) 3
= 11 576, 25 USD / 1, 157625
= 10 000 dolárov
V tomto prípade je diskontným faktorom recipročný koeficient 1, 157625, ktorý sa rovná 0, 8638376.
Posúdenie podľa pravidla 72 (pravidlo 72)
Takzvané pravidlo 72 vypočíta približný čas, za ktorý sa investícia zdvojnásobí pri danej miere návratnosti alebo úroku „i“ a je daná koeficientom (72 / i). Môže sa použiť iba na ročné zloženie.
Napríklad investícia, ktorá má ročnú mieru návratnosti 6%, sa za 12 rokov zdvojnásobí.
Investícia s 8% ročnou návratnosťou sa tak za deväť rokov zdvojnásobí.
Zložená ročná miera rastu (CAGR)
Zložená ročná miera rastu (CAGR) sa používa pre väčšinu finančných aplikácií, ktoré si vyžadujú výpočet jedinej miery rastu za určité časové obdobie.
Povedzme, že vaše investičné portfólio sa za päť rokov rozrástlo z 10 000 na 16 000 dolárov; čo je CAGR? V podstate to znamená, že PV = - 10 000 dolárov, FV = 16 000 dolárov, nt = 5, takže sa musí vypočítať premenná „i“. Pomocou finančnej kalkulačky alebo Excelu je možné dokázať, že i = 9, 86%.
(Všimnite si, že podľa dohody o peňažných tokoch sa vaša počiatočná investícia (PV) vo výške 10 000 $ zobrazuje so záporným znamienkom, pretože predstavuje odlev prostriedkov. PV a FV musia mať na vyriešenie výrazu „i“ vyššie uvedené opačné znaky. rovnice).
Aplikácie CAGR v reálnom živote
CAGR sa vo veľkej miere používa na výpočet výnosov za akciové, podielové fondy a investičné portfóliá za určité časové obdobie. CAGR sa tiež používa na zistenie, či správca podielového fondu alebo správca portfólia v určitom časovom období prekročil mieru návratnosti na trhu. Ak napríklad trhový index priniesol celkové výnosy vo výške 10% za päťročné obdobie, ale správca fondu za rovnaké obdobie dosiahol iba ročné výnosy 9%, manažér nedosiahol výkonnosť trhu.
CAGR sa dá použiť aj na výpočet očakávaného tempa rastu investičných portfólií na dlhé časové obdobia, čo je užitočné na také účely, ako je napríklad úspora na dôchodok. Zvážte nasledujúce príklady:
Príklad 1: Investor s averziou k riziku je spokojný so skromnou 3% ročnou návratnosťou svojho portfólia. Jej súčasné portfólio 100 000 dolárov by preto po 20 rokoch narástlo na 180 611 dolárov. Na rozdiel od toho by investor tolerujúci riziko, ktorý vo svojom portfóliu očakáva ročný výnos 6%, po 20 rokoch dosiahol 100 000 dolárov na 320 714 dolárov.
Príklad 2: CAGR sa môže použiť na odhad, koľko je potrebné uložiť, aby sa ušetrilo na konkrétny cieľ. Pár, ktorý by chcel ušetriť 50 000 dolárov v priebehu 10 rokov na zálohu na byt, by musel ušetriť 4 165 dolárov ročne, ak predpokladá ročný výnos (CAGR) zo svojich úspor 4%. Ak sú pripravení podstúpiť trochu väčšie riziko a očakávať 5% CAGR, budú musieť ročne ušetriť 3 975 dolárov.
Príklad 3: CAGR sa dá použiť aj na preukázanie výhod investovania skôr v živote, ako neskôr. Ak je cieľom ušetriť 1 milión dolárov pri odchode do dôchodku vo veku 65 rokov, na základe 6% CAGR, 25-ročný by musel na dosiahnutie tohto cieľa ročne ušetriť 6 462 dolárov. Na druhej strane by 40-ročný človek musel dosiahnuť 18 227 dolárov alebo takmer trojnásobok tejto sumy, aby dosiahol rovnaký cieľ.
- CAGR sa často objavujú aj v ekonomických údajoch. Tu je príklad: Čínsky HDP na obyvateľa sa zvýšil z 193 dolárov v roku 1980 na 6 091 dolárov v roku 2012. Aký je ročný rast HDP na obyvateľa v tomto 32-ročnom období? Miera rastu „i“ je v tomto prípade úctyhodných 11, 4%.
Výhody a nevýhody zloženia
Zatiaľ čo mágia kombinovania viedla k apokryfnému príbehu Alberta Einsteina, ktorý ju nazval ôsmym zázrakom sveta alebo najväčším vynálezom človeka, kombinovanie môže fungovať aj proti spotrebiteľom, ktorí majú pôžičky, ktoré nesú veľmi vysoké úrokové sadzby, ako napríklad dlh z kreditnej karty. Zostatok na kreditnej karte vo výške 20 000 dolárov, ktorý sa prenáša pri úrokovej sadzbe 20% mesačne, by mal za následok celkový zložený úrok 4 388 dolárov za jeden rok alebo približne 365 dolárov za mesiac.
Pozitívne je, že kúzlo spájania môže pomôcť vašim výhodám, pokiaľ ide o vaše investície, a môže byť účinným faktorom pri vytváraní bohatstva. Exponenciálny rast zo zvyšovania záujmu je tiež dôležitý pri zmierňovaní faktorov narušujúcich bohatstvo, ako sú zvyšovanie životných nákladov, inflácia a znižovanie kúpnej sily.
Podielové fondy ponúkajú investorom jeden z najjednoduchších spôsobov, ako ťažiť z výhod zloženého úroku. Výsledkom voľby reinvestovania dividend z podielového fondu je kúpa ďalších akcií fondu. Postupom času sa hromadí viac zložených úrokov a cyklus nákupu ďalších akcií bude naďalej pomáhať pri zvyšovaní hodnoty investícií do fondu.
Zoberme si investíciu do podielového fondu otvorenú s počiatočnými 5 000 USD a ročným prírastkom 2 400 USD. S priemernou ročnou návratnosťou 12%, ktorá predstavuje 30 rokov, je budúca hodnota fondu 798 500 dolárov. Zložený úrok predstavuje rozdiel medzi hotovostnými prostriedkami vloženými do investície a skutočnou budúcou hodnotou investície. V tomto prípade prispením 77 000 dolárov alebo kumulatívnym príspevkom len 200 dolárov mesačne počas 30 rokov predstavuje zložený úrok 721 500 USD budúceho zostatku. Výnosy zo zložených úrokov sú, samozrejme, zdaniteľné, pokiaľ peniaze nie sú na daňovom účte; obyčajne sa zdaňuje štandardnou sadzbou spojenou s daňovým rozpätím daňovníka.
Zložené úrokové investície
Investor, ktorý sa rozhodne pre plán reinvestovania v rámci sprostredkovateľského účtu, v zásade využíva silu zloženia všetkého, čo investuje. Investori môžu tiež zažiť znásobený záujem pri kúpe dlhopisov s nulovým kupónom. Tradičné emisie dlhopisov poskytujú investorom pravidelné platby úrokov na základe pôvodných podmienok emisie dlhopisov, a keďže sa tieto vyplácajú investorovi vo forme šeku, úrok sa neskladá. Dlhopisy s nulovým kupónom neposielajú investorom šeky; namiesto toho sa tento typ dlhopisu kupuje so zľavou na pôvodnú hodnotu a postupom času rastie. Emitenti dlhopisov s nulovým kupónom využívajú silu zloženia na zvýšenie hodnoty dlhopisu, aby pri splatnosti dosiahol svoju plnú cenu.
Zloženie môže tiež pracovať pre vás pri splácaní pôžičky. Napríklad polovica splátky hypotéky dvakrát mesačne, namiesto úplnej platby raz mesačne, sa skráti doba amortizácie a ušetrí sa vám značné množstvo úrokov. Keď už hovoríme o pôžičkách…
Rozprávanie, či je úrok znásobený
Zákon o pravde v poskytovaní pôžičiek (TILA) vyžaduje, aby veritelia zverejnili podmienky pôžičiek potenciálnym dlžníkom vrátane celkovej sumy úrokov v dolároch, ktorá sa má splatiť počas doby trvania úveru, a či sa úrok jednoducho hromadí alebo je zložený.
Inou metódou je porovnanie úrokovej sadzby pôžičky s jej ročnou percentuálnou mierou (APR), ktorú TILA tiež vyžaduje, aby jej poskytli informácie. APR prevádza finančné poplatky z vašej pôžičky, ktoré zahŕňajú všetky úroky a poplatky, na jednoduchú úrokovú sadzbu. Výrazný rozdiel medzi úrokovou sadzbou a ročnou úrokovou sadzbou znamená jeden alebo obidva z týchto dvoch scenárov: Vaša pôžička používa zložený úrok alebo zahŕňa okrem úroku aj vysoké poplatky za pôžičku.