Definícia Bayesovej vety
Bayesova veta, pomenovaná po britskom matematikovi 18. storočia Thomasovi Bayesovi, je matematický vzorec na určovanie podmienenej pravdepodobnosti. Veta poskytuje spôsob revízie existujúcich predpovedí alebo teórií (pravdepodobnosti aktualizácie) na základe nových alebo dodatočných dôkazov. Vo financiách sa Bayesova veta môže použiť na hodnotenie rizika požičiavania peňazí potenciálnym dlžníkom.
Bayesova veta sa tiež nazýva Bayesov zákon alebo Bayesov zákon a je základom oblasti bayesovskej štatistiky.
Kľúčové jedlá
- Bayesova veta vám umožňuje aktualizovať predpokladané pravdepodobnosti udalosti začlenením nových informácií.
- Bayesov teorém bol pomenovaný po 18. storočí matematikom Thomasom Bayesom.
- Často sa zamestnáva vo financiách pri aktualizácii hodnotenia rizika.
Vzorec pre Bayesovu vetu je
P (A∣B) = P (A⋂B) P (B) = P (A) ⋅P (B∣A) P (B) kde: P (A) = Pravdepodobnosť výskytu A (P) = Pravdepodobnosť výskytu B (A∣B) = Pravdepodobnosť výskytu A pri B (B∣A) = Pravdepodobnosť výskytu B (AP) (A⋂B)) = Pravdepodobnosť výskytu A aj B \ begin {align} & P \ left (A | B \ vpravo) = \ frac {P \ left (A \ bigcap {B} \ right)} {P \ left (B \ vpravo)} = \ frac {P \ vľavo (A \ right) \ cdotP \ left (B} {P \ left (B \ right)} \\ & \ textbf {kde:} \\ & P \ left (A \ right) = \ text {Pravdepodobnosť výskytu A} \\ & P \ left (B \ right) = \ text {Pravdepodobnosť výskytu B} \\ & P \ left (A | B \ right) = \ text {Pravdepodobnosť A danej B} \\ & P \ left (B | A \ right) = \ text {Pravdepodobnosť výskytu B pri A} \\ & P \ left (A \ bigcap {B} \ right)) = \ text {Pravdepodobnosť výskytu A aj B} \\ \ end {zarovnané} P ( A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A) kde: P (A) = Pravdepodobnosť výskytu A (P) = pravdepodobnosť výskytu B (A∣B) = pravdepodobnosť výskytu A pri BP (B∣A) = pravdepodobnosť výskytu B (AP) (A⋂B)) = pravdepodobnosť výskytu A aj B
Bayesova veta vysvetlená
Aplikácia vety je rozsiahla a neobmedzuje sa len na finančnú oblasť. Napríklad Bayesova veta sa môže použiť na určenie presnosti výsledkov lekárskych testov pri zohľadnení pravdepodobnosti, že daná osoba bude mať chorobu, a všeobecnej presnosti testu. Bayesova veta sa spolieha na začlenenie predchádzajúcich rozdelení pravdepodobnosti s cieľom generovať zadné pravdepodobnosti. Pravdepodobná pravdepodobnosť v bayesovskom štatistickom odvodení je pravdepodobnosť udalosti pred zhromaždením nových údajov. Toto je najlepšie racionálne hodnotenie pravdepodobnosti výsledku na základe súčasných poznatkov pred uskutočnením experimentu. Pravdepodobná pravdepodobnosť je revidovaná pravdepodobnosť udalosti, ktorá sa objaví po zohľadnení nových informácií. Pravdepodobnosť je vypočítaná aktualizáciou predchádzajúcej pravdepodobnosti pomocou Bayesovej vety. Zo štatistického hľadiska je zadná pravdepodobnosť pravdepodobnosť výskytu A, ktorá nastala vzhľadom na to, že nastala udalosť B.
Bayesova veta teda dáva pravdepodobnosť udalosti na základe nových informácií, ktoré sú alebo môžu súvisieť s touto udalosťou. Vzorec môže byť tiež použitý na zistenie, ako pravdepodobnosť výskytu udalosti je ovplyvnená hypotetickými novými informáciami, za predpokladu, že nové informácie sa ukážu ako pravdivé. Napríklad povedzme, že jedna karta sa vyberie z celého balíka s 52 kartami. Pravdepodobnosť, že ide o kráľa, je 4 vydelená 52, čo sa rovná 1/13 alebo približne 7, 69%. Nezabudnite, že v palube sú 4 králi. Teraz predpokladajme, že sa zistí, že vybraná karta je tvárová karta. Pravdepodobnosť, že vybraná karta je kráľom, je 4, vydelená približne 12, alebo približne 33, 3%, pretože v balíčku je 12 tvárových kariet.
Odvodenie Bayesovej vety z príkladu
Bayesova veta vychádza jednoducho z axiómov podmienenej pravdepodobnosti. Podmienená pravdepodobnosť je pravdepodobnosť udalosti vzhľadom na to, že nastala iná udalosť. Napríklad jednoduchá otázka pravdepodobnosti sa môže opýtať: „Aká je pravdepodobnosť poklesu cien akcií Amazon.com, Inc. (NYSE: AMZN)?“ Podmienená pravdepodobnosť posunie túto otázku ešte o krok ďalej: „Aká je pravdepodobnosť poklesu cien akcií AMZN vzhľadom na to, že index Dow Jones Industrial Average (DJIA) skôr klesol?“
Podmienená pravdepodobnosť A vzhľadom na to, že sa B stala, sa dá vyjadriť ako:
Ak A je: „Cena AMZN klesá“, potom P (AMZN) je pravdepodobnosť, že AMZN klesne; a B je: „DJIA už je dole“ a P (DJIA) je pravdepodobnosť, že DJIA klesla; potom výraz podmienenej pravdepodobnosti znie ako „pravdepodobnosť, že AMZN poklesne pri poklese DJIA, sa rovná pravdepodobnosti, že cena AMZN klesá a DJIA klesá nad pravdepodobnosťou poklesu indexu DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN a DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN a DJIA) je pravdepodobnosť výskytu A aj B. Je to rovnaké ako pravdepodobnosť výskytu A vynásobená pravdepodobnosťou, že B nastane, keď nastane A, vyjadrené ako P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Skutočnosť, že tieto dva výrazy sú rovnaké, vedie k Bayesovej vete, ktorá sa píše takto:
ak P (AMZN a DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
potom P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Kde P (AMZN) a P (DJIA) sú pravdepodobnosť pádu Amazonu a Dow Jones bez ohľadu na seba.
Vzorec vysvetľuje vzťah medzi pravdepodobnosťou hypotézy pred tým, ako sa objaví dôkaz, že P (AMZN), a pravdepodobnosťou hypotézy po získaní dôkazu P (AMZN | DJIA), vzhľadom na hypotézu pre Amazon uvedenú v Dow.
Numerický príklad Bayesovej vety
Ako číselný príklad si predstavte, že existuje test na drogy, ktorý je presný na 98%, čo znamená, že 98% času predstavuje skutočný pozitívny výsledok pre niekoho, kto liek užíva, a 98% času, keď vykazuje skutočný negatívny výsledok pre neužívateľov drog liek. Ďalej predpokladajme, že 0, 5% ľudí užíva drogu. Ak je osoba vybraná pri náhodných testoch pozitívnych na liek, môže sa urobiť nasledujúci výpočet, aby sa zistilo, či je pravdepodobnosť, že daná osoba je skutočne užívateľom drogy.
(0, 98 x 0, 005) / [(0, 98 x 0, 005) + ((1 - 0, 98) x (1 - 0, 005))] = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Bayesova veta ukazuje, že aj keď je človek v tomto scenári pozitívny, je oveľa pravdepodobnejšie, že nie je užívateľom drog.
Porovnať investičné účty Názov poskytovateľa Opis Zverejnenie informácií inzerenta × Ponuky uvedené v tejto tabuľke pochádzajú od partnerstiev, od ktorých spoločnosť Investopedia dostáva kompenzácie.